第52讲 随机事件的概率与古典概型（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 第52讲 随机事件的概率与古典概型（精讲） 题型目录一览 ①随机事件关系与运算 ②频率与概率 ③互斥事件与对立事件 ④古典概型Ⅰ-简单的古典概型问题 ⑤古典概型Ⅱ-与排列组合结合 一、知识点梳理 一、随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母表示． 我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验： 1.试验可以在相同条件下重复进行； 2.试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； 3.每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 二、样本空间 我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间，一般地，用．．表示样本空间，用表示样本点，如果一个随机试验有个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间． 三、随机事件和确定事件 1.一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生． 2.作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件． 3.空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为为不可能事件． 4.确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对随机事件的确定事件． 四、事件的关系与运算 ①包含关系：一般地，对于事件和事件，如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件（或者称事件包含于事件），记作或者．与两个集合的包含关系类比，可用下图表示： 不可能事件记作，任何事件都包含不可能事件． ②相等关系：一般地，若且，称事件与事件相等．与两个集合的并集类比，可用下图表示： ③并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与事件的并事件（或和事件），记作（或）．与两个集合的并集类比，可用下图表示： ④交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作（或）．与两个集合的交集类比，可用下图表示： 五、互斥事件与对立事件 1.互斥事件：在一次试验中，事件和事件不能同时发生，即，则称事件与事件互斥，可用下图表示： 如果，，…，中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件，．．，…，彼此互斥． 2.对立事件：若事件和事件在任何一次实验中有且只有一个发生，即不发生，则称事件和事件互为对立事件，事件的对立事件记为． 3.互斥事件与对立事件的关系 ①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生． ②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件． 六、概率与频率 1.频率：在次重复试验中，事件发生的次数称为事件发生的频数，频数与总次数的比值，叫做事件发生的频率． 2.概率：在大量重复尽心同一试验时，事件发生的频率总是接近于某个常数，并且在它附近摆动，这时，就把这个常数叫做事件的概率，记作． 3.概率与频率的关系：对于给定的随机事件，由于事件发生的频率随着试验次数的增加稳定于概率，因此可以用频率来估计概率． 七、随机事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件的概率用表示. 八、古典概型 1.定义：一般地，若试验具有以下特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. 2.古典概型的概率公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率. 注：（1）解决古典概型的问题要注意清楚以下三个方面 ①本试验是否具有等可能性； ②本试验的基本事件有多少个； ③事件是什么． （2）一般解题步骤： ①仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意； ②判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件； ③分别求出基本事件的个数与所求事件中所包含的基本事件个数； ④利用公式求出事件的概率． 九、概率的基本性质 1.对于任意事件都有：． 2.必然事件的概率为，即；不可能事概率为，即． 3.概率的加法公式：若事件与事件互斥，则． 推广：一般地，若事件，，…，彼此互斥，则事件发生（即，，…，中有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即：． 4.对立事件的概率：若事件与事件互为对立事件，则，，且． 5.若，是一次随机实验中的两个事件，则． 二、题型分类精讲 题型一 随机事件