4.2.2等差数列前n项和-2023-2024学年高二数学教材配套教学精品课件（人教A版2019选择性必修第二册)

第四章 数列 4.2.2 等差数列的前n项和公式 人教A版 选择性必修第二册 教学目标 1.理解等差数列前n项和公式的推导过程和方法。 2.掌握等差数列前n项和公式。 3.能够熟练应用等差数列前n项和公式求和。 01 复习导入 复习回顾 1. 等差数列的定义 2. 等差数列的通项公式 3. 等差中项 an-an-1=d （n≥2）或 an+1-an=d (n∈N*) an =a1+(n-1)d 由三个数a,A,b组成等差数列,则称A叫做a与b的等差中项. 这三个数满足关系式： A= d= 函数图象上所有的点在同一条直线上：d＞0,等差数列单调递增；d＜0,等差数列单调递减；d＝0,等差数列为常数列. 4. 等差数列的函数特征 情景导入 高斯算法 l 前面我们学习了等差数列的概念和通项公式，下面我们将利用这些知识解决等差数列的求和问题. l 据说，二百多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案： 高斯的算法实际上解决了求等差数列 ① 前100项和的问题. 02 等差数列的前n项和 新知探究 思考1：高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗?你能从中得到求数列①的前n项和的方法吗? 对于数列1，2，3，‧‧‧，n，‧‧‧ ，若设an=n，那么高斯的计算方法可以表示为 可以发现，高斯在计算中利用了 这一特殊关系. 这里用到了数列的性质：若p+q=s+t，则ap+ aq=as+ at，它使不同数的求和问题转化成了相同数(即101)的求和，从而简化了运算. 新知探究 探究1：如何用高斯的方法求？ l 方法二:（拿出中间项，再首尾配对） 原式=(1+101)+ (2+100)+ (3+99)+… + (50+52)+51=102×50+51=5151 方法一：（拿出末项，再首尾配对） 原式=(1+2+3+… + 100)+101 =（1+100）+（2+99）+(3+98)+…+(50+51)+101 =101×50+101=5151 方法三：（先凑成偶数项，再配对） 原式=0+1+2+3+… + 101 =（0+101）+（1+100）+（2+99）+…+（51+52）=101×51=5151 新知探究 将上述方法推广到一般，可以得到: 于是有 ①当n是偶数时，有 ②当n是奇数时，有 ∴对任意正整数n，都有 探究2：你能用高斯的方法计算1＋2＋3＋… ＋n吗？ 新知探究 思考2：我们发现，在求前个正整数的和时，要对分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦.能否避免分类讨论？ l 如果对公式作变形，可得 , 它相当于两个相加，而结果变成个相加. 受此启发，我们得到下面的方法： 新知探究 l , 将上述两式相加，可得： 所以， n项 倒序相加 新知探究 对于等差数列，因为，由倒序相加的方法，我们用两种方式表示： ，① . ②， ①+②得    由此得到等差数列的前项和公式 等差数列的前项和公式 新知探究 等差数列前n项和公式 项数 首项 末项 把等差数列的通项公式代入上式， 可得 在两个求和公式中, 各有五个元素, 只要知道其中三个元素, 结合通项公式就可求出另两个元素——“知三求二”. 新知探究 新知探究 例1：已知数列是等差数列. （1）若； （2）若，求； （3）若，， 分析 （1）可以直接利用公式求和； （2）可以先利用的值求出，再利用公式求和； （3）已知公式中的，解方程即可求得. 新知探究 解：（1）因为，根据公式，可得 （2）因为，所以.根据公式，可得×＝. （3）把，，代入，得 ×. 解得（舍去）. 所以 新知探究 方法技巧：等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前项和公式中有五个量这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量的方程组，解出，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． (2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质： 若，则，常与求和公式结合使用． 新知探究 新知探究 例2.已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？ 解：由题意，知. 把它们代入公式，得 解方程组，得 所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差.