串讲04 平面向量（考点串讲）-【中职专用】2023-2024学年高二数学上学期期末考点大串讲（北师大版2021）

串讲04 平面向量（考点串讲） 核心知识总览 01教材梳理 02考点精讲 考点1 向量的有关概念 考点2 平行的向量与共线向量 考点3 向量的线性运算 考点4 平面向量的坐标运算 考点5 求内积 考点6 求夹角 考点7 求向量的模 考点8 向量的垂直 03过关测试 1. 向量的运算 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2). 向量运算 法则(或几何意义) 坐标运算 向量的线性运算 加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 数乘 (1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λa＝(λx1，λy1) 向量的内积运算 a·b＝|a||b|cos θ(θ为a与b的夹角)规定0·a＝0 数量积的几何意义是a的模与b在a方向上的投影的积 a·b＝x1x2＋y1y2 2.两个定理 (1)平面向量基本定理 ①定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. ②基底：把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. (2)向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa. 3.向量的平行与垂直 a，b为非零向量， 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， a∥b 有唯一实数λ使得b＝λa(a≠0) x1y2－x2y1＝0 a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 考点1 向量的有关概念 【例1】给出如下命题： ①向量的长度与向量的长度相等； ②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ③两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ④向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上. 其中正确的命题个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】①，向量与向量的大小相同，方向相反，所以①正确. ②，根据相等向量的知识可知，两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，②正确. ③，两个有公共终点的向量，可能这两个向量垂直，所以③错误. ④，根据向量共线的知识可知，向量与向量是共线向量， 可能，所以④错误. 综上所述，正确的命题个数是.故选B 【方法总结】解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题. 【巩固训练】 下列说法正确的是（    ） A．质量、速度、位移、加速度、功都是向量． B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小． C．两个向量相等，则表示它们的有向线段的起点相同，终点相同． D．向量的模可以比较大小． 【答案】D 【解析】A.质量、功不是向量，故A错误； B.向量不能比较大小，故B错误； C.相等向量指方向相同，长度相等的向量，与起点和终点无关，故C错误； D.向量的模是数量，可以比较大小，故D正确.故选D 考点2 平行的向量与共线向量 【例2】已知两个非零向量与共线，下列说法不正确的是（　　） A．或 B．与平行 C．与方向相同或相反 D．存在实数，使得 【答案】A 【解析】非零向量与共线， 对于A，，，故A错误； 对于B，∵向量与共线，∴向量与平行，故B正确； 对于C，∵向量与共线，∴与方向相同或相反，故C正确； 对于D，∵与共线，∴存在实数，使得，故D正确．故选A． 【方法总结】相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线. (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量. 【巩固训练】 如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A，B，C，D，E，F，O中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，与向量共线的向量共有 个. 【答案】9 【解析】由正六边形的性质可知，与向量共线的向量有，共9个. 考点3 向量的线性运算 【例3】在中，点为边的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，. 故选：C 【方法总结】向量线性运算的方法 (1)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数是向量的系数； (2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算． 【巩固训练】 在中，点为边的中点．记