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2024年中考数学复习专题★★
圆的综合题
类型一:与圆的性质有关的证明与计算
(2022·威海)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,连接AC,BD,延长CD至点E.
(1)若eq \o(AB,\s\up20(︵))=eq \o(AC,\s\up20(︵)),
求证:∠ADB=∠ADE;
【分层分析】由∠ADE=∠ABC转化为∠ABC=∠ADB.
解:∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∴∠ADE=∠ABC.
∵eq \o(AB,\s\up8(︵))=eq \o(AC,\s\up8(︵)),∴∠ABC=∠ADB,
∴∠ADB=∠ADE.
(2)若BD平分∠ABC,AC=8,AD=5,求圆心O到AC的距离;
【分层分析】由同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等,所对的弦相等和垂径定理求弦心距的长.
解:连接OD,交AC于点G,连接OA,
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,
∴AD=CD,∴OD垂直平分AC,∴AG=eq \f(1,2)AC=4.
在Rt△ADG中,DG=eq \r(AD2-AG2)=3.
在Rt△AOG中,设OG=x,
则OA=OD=OG+DG=3+x,∴42+x2=(3+x)2,
解得x=eq \f(7,6),∴圆心O到AC的距离是eq \f(7,6).
解:连接CO并延长交⊙O于点F,连接BF,
则∠FBC=90°.在Rt△BCF中,CF=4,BC=3,
∴sin F=eq \f(BC,CF)=eq \f(3,4).
∵∠F=∠BAC,∴sin∠BAC=eq \f(3,4).
(3)若BC=3,⊙O的半径为2,求sin∠BAC的值.
【分层分析】作直径构造直