专题07 抛物线十二个重难点归类-2023-2024学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019）

专题07抛物线十二个重难点归类 一、抛物线的定义和标准方程 1．抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点F与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴． 注意：直线l不经过点F，若l经过F点，则轨迹为过定点F且垂直于定直线l的一条直线． 2．抛物线的标准方程 （1）顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为； （2）顶点在坐标原点，焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为； （3）顶点在坐标原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为； （4）顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为. 二、抛物线的几何性质 1．抛物线的几何性质 标准方程 图 形 几 何 性 质 范 围 对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称 焦点 准线方程 顶点 坐标原点 离心率 2．抛物线的焦半径 抛物线上任意一点与抛物线焦点F的连线段，叫做抛物线的焦半径． 根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表： 抛物线方程 焦半径公式 3．抛物线的焦点弦 抛物线的焦点弦即过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦． 焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设AB为焦点弦，，，则 抛物线方程 焦点弦公式 其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A，B两点的线段AB，称为抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为． 4．必记结论 直线AB过抛物线的焦点，交抛物线于两点，如图： （1） （2）,即当时,弦长最短为 （3）为定值 （4）弦长(为AB的倾斜角)． （5）以AB为直径的圆与准线相切． （6）焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°. 【重难点一 利用抛物线的定义求值】 例1．若抛物线上一点到焦点的距离是2m，则（    ） A． B． C．2 D． 例2．已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，过作的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则（    ） A．5 B．2 C． D． 若已知抛物线上点P到焦点F的距离(或与此有关),往往转化为点P到准线的距离,其步骤是: ①过P作PN垂直于准线l,垂足为N；②连接PF;③ (焦点在轴正半轴上时) 【跟踪练习】 练习1．若是抛物线位于第一象限的点，是抛物线的焦点，，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 练习2．焦点为的抛物线的对称轴与准线交于点，点在抛物线上且在第一象限，在中，，则直线的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 练习3．已知抛物线的焦点F，点，线段MF的三等分点N在曲线C上，则点N到焦点的距离为（    ） A． B．或 C．或 D．或 练习4．若抛物线上一点A的横坐标为，且A到C的焦点的距离为，则A点的一个纵坐标为 ．（写出一个符合条件的即可） 【重难点二 求抛物线的标准方程】 例3．（多选）已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 例4．已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 1.求抛物线的标准方程的方法 （1）定义法：根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程． （2）待定系数法：①根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p即可； ②当焦点位置不确定时，注意要对四种形式的标准方程进行讨论 【跟踪练习】 练习1．求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，准线方程为； (2)顶点在原点，且过点； (3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上； (4)焦点在x轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5. 练习2．写出一个同时满足下列条件①②的抛物线的方程 ． ①以原点为顶点；②以椭圆的一个焦点为焦点． 练习3．已知抛物线：的焦点为，点在轴上，线段的延长线交于点，若，则 ． 练习4．已知抛物线上一点为焦点.直线交抛物线的准线于点，满足.则 . 【重难点三 根据抛物线的方程求参数】 例5．设第四象限的点为抛物线上一点，为焦点，若，则（    ） A．-4 B． C． D．-32 例6．抛物线绕其顶点顺时针旋转之后，得到的图象正好对应抛物线