第19期 2.4过不共线三点作圆 2.5直线与圆的位置关系(答案见下期)-【数理报】2023-2024学年九年级(中考)数学学案（湘教版）

书 １５．（１）△ＡＢＣ是等 腰直角三角形，理由如 下： 因为 ＡＣ为 ⊙Ｏ的 直径，所以 ∠ＡＤＣ ＝ ∠ＡＢＣ ＝ ９０°， 因 为 ∠ＡＤＢ＝∠ＣＤＢ，所以 ) ) ＡＢ＝ＢＣ，所以 ＡＢ＝ ＢＣ，又因为 ∠ＡＢＣ ＝ ９０°，所以△ＡＢＣ是等腰 直角三角形． （２） 在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中，ＡＢ＝ＢＣ＝ 槡２２，所 以ＡＣ＝４，在Ｒｔ△ＡＤＣ 中，ＡＤ＝２，ＡＣ＝４，所 以ＣＤ＝ 槡２３．即ＣＤ的 长为 槡２３． １６．设此水门的桥 拱圆弧的圆心为点 Ｏ， 过点Ｏ作ＯＤ⊥ＡＢ于点 Ｄ，交圆弧为点 Ｃ，此水 门的桥拱圆弧的半径为 Ｒｍ，由题意知，ＡＢ ＝ １８２ｍ，ＣＤ＝６２ｍ，则 ＡＤ ＝ＢＤ ＝ １２ＡＢ ＝ ９．１ｍ，ＯＤ ＝ （Ｒ － ６．２）ｍ，在Ｒｔ△ＡＯＤ中， 由勾股定理，得 Ｒ２ ＝ ９．１２＋（Ｒ－６．２）２，解得 Ｒ≈９．８． 答：此水门的桥拱 圆弧的半径约为９．８ｍ． １７．（１）连接 ＥＯ， 设⊙Ｏ半径为 ｒ，因为 ＥＧ⊥ＡＢ，所以ＣＥ＝ＣＧ ＝ １２ＥＧ＝４，因为 ＡＣ ＝２，所以 ＯＣ＝ｒ－２， 在Ｒｔ△ＣＥＯ中，由勾股 定理，得 ＯＥ２ ＝ＣＥ２＋ ＯＣ２，即 ｒ２ ＝４２＋（ｒ－ ２）２，解得 ｒ＝５，所以 ⊙Ｏ的半径为５． （２）证 明：连 接 ＯＥ，ＯＦ，因为ＡＣ＝ＢＤ， ＯＡ＝ＯＢ，所以 ＯＣ＝ 书 上期２版 ２．１圆的对称性 基础训练　１．Ａ；　２．Ｃ；　３．Ａ；　４．无数，１； ５．３６°． ６．证明：因为ＯＡ，ＯＢ是⊙Ｏ的两条半径，所以ＡＯ＝ ＯＢ，因为 Ｃ，Ｄ分别是半径 ＯＡ，ＯＢ的中点，所以 ＯＣ＝ ＯＤ，又因为ＯＢ＝ＯＢ，所以 △ＯＣＢ≌ △ＯＤＡ（ＳＡＳ），所 以ＡＤ＝ＢＣ． 能力提高 　７．证明：连接 ＯＡ，ＯＣ，因为 ＯＡ＝ＯＢ， ＯＢ＝ＯＣ，所以∠ＡＢＯ＝∠ＢＡＯ，∠ＣＢＯ＝∠ＢＣＯ，因为 ＢＯ平分∠ＡＢＣ，所以 ∠ＡＢＯ＝∠ＣＢＯ，所以 ∠ＢＡＯ＝ ∠ＢＣＯ，在△ＢＡＯ和△ＢＣＯ中， ∠ＡＢＯ＝∠ＣＢＯ， ∠ＯＡＢ＝∠ＯＣＢ， ＯＢ＝ＯＢ { ， 所以 △ＯＡＢ≌△ＯＣＢ（ＡＡＳ），所以ＡＢ＝ＢＣ． ２．２．１圆心角 基础训练　１．Ａ；　２．１２０°． ３．证明：因为ＯＢ＝ＯＣ，所以∠Ｂ＝∠Ｃ，因为ＯＤ∥ ＢＣ，所以∠ＡＯＤ＝∠Ｂ，∠ＣＯＤ＝∠Ｃ，所以 ∠ＡＯＤ＝ ∠ＣＯＤ，所以 ) ) ＡＤ＝ＣＤ，即Ｄ为 ) ＡＣ的中点． 能力提高　４．∠ＯＤＣ＝４５°，∠ＤＯＢ＝６７５°． ２．２．２圆周角 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｃ；　３．４８°；　４．９９°． ５．证明略． 能力提高 　６．因为 ＡＢ是直径，所以 ∠ＡＣＢ＝ ∠ＡＤＢ＝９０°，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＢ＝１０ｃｍ，ＡＣ＝６ｃｍ，所 以ＢＣ＝ ＡＢ２－ＡＣ槡 ２ ＝８（ｃｍ），因为ＣＤ平分∠ＡＣＢ， 所以∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＤ，所以 ) ) ＡＤ＝ＤＢ，所以ＡＤ＝ＢＤ，在 Ｒｔ△ＡＢＤ中，由勾股定理，得ＡＤ２＋ＢＤ２ ＝ＡＢ２，所以ＡＤ ＝ＢＤ＝ １００槡２ ＝ 槡５２（ｃｍ）．所以四边形ＡＣＢＤ的面积 ＝△ＡＢＣ的面积 ＋△ＡＢＤ的面积 ＝１２×６×８＋ １ ２× 槡５２× 槡５２＝４９（ｃｍ ２）． ２．３垂径定理 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｃ； ３．答案不惟一，大于等于４小于５即可，如４．２； ４．１３． 能力提高　５．（１）该圆弧所在圆的半径为２０米． （２）设弧ＡＢ所在圆的圆心为Ｏ，过点Ｏ作ＯＨ⊥ＦＥ 交 ＦＥ的延长线于Ｈ，连接ＯＦ，则ＯＨ＝ＤＥ＝１２×３２－ ４＝１２（米），ＯＦ＝Ｒ＝２０（米），在Ｒｔ△ＯＨＦ中，由勾股 定理得ＨＦ＝ ＯＦ２－ＯＨ槡 ２ ＝１６，因为ＨＥ＝ＯＤ＝ＯＣ －ＣＤ＝１２（米），所以 ＥＦ＝ＨＦ－ＨＥ＝１６－１２＝ ４（米）． 答：桥墩ＥＦ高４米． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｃ Ｂ Ｃ Ａ Ｃ Ｃ Ａ 二、９．４；　１０．５０°；　１１．槡２３；　１２．５２°； １３．槡１７－１． 三、１４．∠ＡＣＥ＝３０°，ＡＣ＝ＯＤ且ＡＣ∥ＯＤ． 书 重点集训营 １．（２０２３柳州期末）如图１，已知 ＡＢ是 ⊙Ｏ的直 径，点Ｄ是⊙Ｏ上异于Ａ，Ｂ的点，点Ｃ是 ) ＢＤ的中点，连 接ＡＤ，ＡＣ，ＢＣ，ＣＤ，过点Ｃ作ＣＥ⊥ＡＤ交ＡＤ的延长线 于点Ｅ．求证：ＣＥ是⊙Ｏ的切线． ２．（２０２２南京二模）如图２，四边形ＡＢＣＤ是菱形， 以ＡＢ为直径作⊙Ｏ，交ＣＢ于点Ｆ，点Ｅ在ＣＤ上，且ＣＥ ＝ＣＦ，连接ＡＥ．求证：ＡＥ是⊙Ｏ的切线． 辅助线周周练 １．（２０２２济南模拟）如图１，在正方形ＡＢＣＤ中，点 Ｅ，Ｆ分别在边ＢＣ，ＣＤ上，且∠ＥＡＦ＝４５°，ＡＥ交ＢＤ于 点Ｍ，ＡＦ交ＢＤ于点Ｎ．若正方形的边长为３，则△ＣＥＦ 的周长是 ． ２．（２０２３郑州期末）