数列 新高考解答题专练系列-2024届高三数学一轮复习

数列（新高考解答题专练系列） 一、解答题 1．从①，，成等差数列；②，，成等比数列；③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答下列问题. 已知为数列的前项和，，，且________. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 2．已知等差数列满足，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)记为数列前项的乘积，若，求的最大值． 3．已知数列的前项和记为，且，数列是公比为的等比数列，它的前项和记为．若，且存在不小于3的正整数，，使得． (1)若，，求的值； (2)求证：数列是等差数列； (3)若，是否存在正整数，，使得？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由． 4．已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设是首项为1，公比为3的等比数列， ①求数列的前项和； ②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值． 5．已知正项数列的前项和为，满足. (1)证明：数列为等差数列； (2)设数列，求数列前项和的值． 6．设为数列的前项和， (1)求的通项公式； (2)若数列的最小项为第项，求； (3)设数的前项和为，证明： 7．已知数列首项，且满足． (1)求证：数列为等比数列，并求的通项； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 8．已知递减等差数列满足，且，，成等比数列.数列的首项为2，其前项和满足（其中，），且. (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，的前项和为，求. 9．已知数列，若对于任意正整数n，仍为数列中的项，则称数列为“回归数列”. (1)已知 ，判断数列是否为“回归数列”，并说明理由； (2)若数列为“回归数列”，且对于任意正整数n，均有成立，证明：数列为等差数列. 参考答案： 1．(1)条件选择见解析，.(2) 【解析】（1）由，，当时，， 两式相减得，即，所以数列为等比数列，公比为. 选①，由，，成等差数列， 可得，即，解得， 所以. 选②，由，，成等比数列，得， 即，解得， 所以. 选③，由，得， 所以. （2）当为奇数时，， 记前项和中的奇数项之和为， 则. 当为偶数时，，记前项和中的偶数项之和为， 则， 故. 2．(1)或 (2) 【解析】（1）设的公差为，由，得：； 由成等比数列，得：，即：，整理得：. 由，解得：或. 所以：的通项公式为或. （2）因为，所以：， 得：当时，；当时，. 从而， 又因为：，所以：的最大值为. 故的最大值为. 3．(1)(2)证明见解析(3)存在，，． 【解析】（1）当时，， 因为，，所以． （2）由，得， 两式相减，得，即， 所以． 两式相减，得，所以数列为等差数列． （3）依题意：，由得：， 即，所以． 因为，且，所以， 又因为，且为奇数，所以时，是整数，此时， 所以，． 4．【小题1】； 【小题2】①；②． 【解析】（1）依题意得，解得， ，即． （2）①，， ， ， 所以． ． ②由（1）易求得，所以不等式对一切恒成立， 即转化为对一切恒成立， 令，则， 又， 当时，；时，， 所以，且，则． 所以实数的最大值为． 5．(1)证明见解析(2) 【解析】（1）由， 当时，，解得， 当时，，则， 整理， 又数列为正项数列， 则， 所以，即， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以； （2）由（1）得，则 ， 所以. 6．(1)(2)(3)证明见解析 【解析】（1）由题意知，当时， 当时，符合上式， 所以； （2）由（1）知，，， 所以， 当且仅当即时，等号成立. 所以数列的最小项为第一项，故； （3）由（1）知 时， 记， 设为数列的前项和，则时， 时，， 因为所以 综上， 7．(1)证明见解析，(2) 【解析】（1）由，取倒数得：，变形得：， 又，则， 所以数列是以首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以. （2）由（1）知， 若，则， 所以 而是上的递减数列， 所以，故． 8．(1);(2) 【解析】（1）设该递减等差数列的公差为， 由题意可知，其中，解得或14（舍去），. 对于，由已知，，两式相减得，① 又，，② 由①②，得对所有成立， 是首项为2，公比为的等比数列，从而， 由，得，又，，. 综上，，. （2）， 由，可知当，2，3，4时，，当时，，. 当，2，3，4时，可知，，，. 当时，， ，① ，② 由①-②得， ， . 综上： 或写成： 9．(1)数列不为“回归数列”，详见解析(2)详见解析 【解析】（1）对于任意仍为数列 中的项，则称数列为“回归数列”. 己知则， 显然不是数列中的项，故：数列不为“回归数列”. （2）由题意知:，必存在，使得：由题意可知：， ，故因此，即: 整理得：，则数列为等差数列. 学科网（北京）股份有