串讲03 数列（考点串讲）-【中职专用】2023-2024学年高二数学上学期期末考点大串讲（北师大版2021）

串讲03 数列（考点串讲） 核心知识总览 01教材梳理 02考点精讲 考点1 数列中项的求解 考点2 由数列的前几项写出数列的一个通项公式 考点3 等差数列的通项公式 考点4 等差数列通项公式的简单应用 考点5 等差数列前n项和 考点6 等差数列前n项和公式的应用 考点7 等比数列的通项公式 考点8 等比数列通项公式的简单应用 考点9 等比数列前n项和 考点10 等比数列前n项和公式的应用 考点11 等比数列性质的应用 考点12 数列的实际应用 03过关测试 1.数列的定义 （1）数列的定义 我们把按照一定的次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．从开始的项起，自左至右排序，各项按照其位置依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第3项，…，第n项，…，其中反映各项在数列位置的数字1,2,3,…,n,…分别叫做对应的项的项数. （2）数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 （3）数列的通项（或一般项） 无穷数列的一般形式可以写作，简记作，其中,下角码中的数为项数,表示第1项，表示第2项，…当n由小至大依次取正整数值时，依次可以表示数列中的各项,因此,通常把第项叫做数列的通项或一般项. 2.数列的通项公式 通项公式：一个数列的第n项an，与如果能够用关于n的一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 3.等差数列的定义 如果一个数列从第2项开始，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么，这个数列叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，一般用字母d表示． 若数列为等差数列，为公差， 则,即. 4.等差数列的通项公式 设等差数列 的公差为d ， 则 5.等差数列的前n项和公式 已知等差数列{an}的首项a1、末项an及项数n， 为公差，前项和公式为 6.等差数列的性质 （1）在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列． （2）在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap. 7.等差数列应用举例 （1）年利率与月利率的关系：月利率=年利率÷12 （2）等差数列应用题的解法一般是根据题设条件，建立目标函数关系(即等差数列模型)，然后确定公差、首项、项数是什么，分清an与Sn，然后选用适当的方法求解，最后回归实际． 8. 等比数列的定义 这个数列的特点是，从第2项起，每一项与它前面一项的比都等于2．如果一个数列的首项不为零，且从第2项开始，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做这个等比数列的公比，一般用字母q来表示． 由定义知，若为等比数列，q为公比，则与q均不为零，且有，即 9. 等比数列的通项公式 设等比数列的公比为q 则 10.等比数列的前n项和公式 等比数列的前n项和为 还可以写成 当时，等比数列的各项都相等， 此时它的前项和为． 11.等比数列的性质 （1）公比为q的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m，所得数列是等比数列， 公比为q； （2）若{an}是等比数列，且m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N＋，则am·an＝ap·aq； 12.等比数列应用举例 复利计息法：将前一期的本金与利息的和（简称本利和）作为后一期的本金来计算利息的方法．俗称“利滚利”． 考点1 数列中项的求解 【例1】（1）数列，，，，…的第8项是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，数列的一个通项公式可以为， 所以.故选：A. （2）数列中，，则125是这个数列的第 项. 【答案】8 【解析】由，得，而，解得， 所以125是这个数列的第8项. 【方法总结】1.利用数列的通项公式求某项的方法 数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项． 2.判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项． 【巩固训练】 1.已知数列：1，2，3，5，8，…，则89是该数列的第（    ）项. A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【解析】由题意可得数列从第3项起，每一项等于前两项的和， 所以这个数列为：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…， 所以89是该数列的第10项.故选B 2.数列{an}的通项公式是an＝(n∈N＋)，则a10＝________． 【答案】 【解析