串讲03 函数（考点串讲）-【中职专用】2023-2024学年高一数学上学期期末考点大串讲（北师大版2021）

串讲03 函数（考点串讲） 核心知识总览 01教材梳理 02考点精讲 考点1：集合的概念及其表示 考点2：元素与集合的关系 考点3：求集合中元素的个数 考点4：集合之间的关系 考点5：集合的运算 考点6：集合运算中的参数问题 03过关测试 1.函数的常用表示方法 表示方法 定义 列表法 通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法. 图象法 用“图形”表示函数的方法叫做图象法. 解析法 (公式法) 如果在函数y＝f(x)(x∈A)中，f(x)是用代数式(或解析式)来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析法(也称为公式法). 2.分段函数 (1)定义 在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数. (2)函数的两要素 ①定义域：由每一段上x的取值范围的并集. ②对应法则：在每一段上的对应法则不同. 【名师指导】1.函数三种表示法的优缺点 2.描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线. 3.求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法. 4.理解分段函数应注意的问题： (1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集.写定义域时，区间的端点需不重不漏. (2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式. (3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象. 3.增函数与减函数 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A.如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量 Δx＝x2－x1＞0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)＞0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数，当Δy＝f(x2)－f(x1)＜0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数. 4单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间. 【名师指导】1.对函数单调性的理解(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性. (2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1、x2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1<x2；三是属于同一个单调区间. (3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f(x)是增(减)函数且f(x1)<f(x2)⇔x1<x2(x1>x2). (4)并不是所有函数都具有单调性.若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不存在单调性. 2.单调性的证明方法 证明f(x)在区间D上的单调性应按以下步骤：(1)设元：设x1，x2∈D且x1<x2；(2)作差：将函数值f(x1)与f(x2)作差；(3)变形：将上述差式(因式分解、配方等)变形；(4)判号：对上述变形的结果的正、负加以判断；(5)定论：对f(x)的单调性作出结论.其中变形为难点，变形一定要到位，即变形到能简单明了的判断符号的形式为止，切忌变形不到位就定号. 3.单调性的判断方法 (1)定义法：利用定义严格判断. (2)图象法：作出函数的图象，用数形结合的方法确定函数的单调区间. (3)用两个函数和(差)的单调性的规律判断：“增＋增＝增”，“减＋减＝减”，“增－减＝增”，“减－增＝减”. 4.函数奇偶性的定义 (1)奇函数：设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数. (2)设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数. 5.奇、偶函数图象的对称性 (1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. (2)偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 【名师指导】1.定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的一个条件，f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式. 2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)∓f(x)＝0⇔＝±1(f(x)≠0). 3.(1)若f(x)＝0且f(x)的定义域关于原点对