专题1-6 幂函数与指数函数十类重点题型过关-2023-2024学年高一数学上学期期末考点·题型·技巧与方法重难点突破（人教A版2019必修第一册）

专题1-6 幂函数与指数函数十类重点题型过关 知识点梳理 题型一 分数型指数幂的取值范围问题 题型二 图象的判断与应用 题型三 多重根式的化简（2023高考有涉及） 题型四 分数型指数幂的化简与计算求值（结合平方公式） 题型五 求解析式 题型六 解不等式 题型七 比大小 题型八 复合函数单调性 题型九 指数型函数的值域问题 题型十 指数型复合函数的奇偶性问题 知识点梳理 一、幂函数 （1）幂函数的图象同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，，的图象(如图)． （2）幂函数的性质 1、所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； 2、如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增（重要）； 3、如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； 4、在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 二、指数与根式 1、n次方根的定义 （1）定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且 （2）偶次方根的被开方数要为非负数 2、根式 （1）定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． （2）性质：（，且） a； 3、分数指数幂的意义 （1）分数指数幂的意义 正分数指数幂：规定： 负分数指数幂：规定： （3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 4、分数指数幂的注意事项： （1）分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂不可理解为个相乘，它是根式的一种新的写法． 在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已． （2）把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分． （3）在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂， 如有意义，但就没有意义． 4、无理数指数幂 一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数． 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点： ①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果． （2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 5、实数指数幂的运算性质 ①． ②． ③． 三、指数函数的图象与性质 图象 第1象限底大图高 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 四、比较指数幂的大小 常用方法有： （1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； （2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断； （3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较． 五、简单指数不等式的解法 1、形如的不等式，可借助的单调性求解 2、形如的不等式，可将化为以为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解 3、形如的不等式，可借助两函数，的图象求解 题型一 分数型指数幂的取值范围问题 1． 函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 2． 函数的定义域为______. 3． 函数的定义域为_________. 4． 等式成立的条件是（ ） A． B． C． D． 题型二 图象的判断与应用 5． 幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是 （ ） A． B． C． D． 6． 图中C1、C2、C3为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（ ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 7． 若幂函数与在第一象限内的图像如图所示，则（ ） A．； B．，； C．，； D．，． 8． 函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（ ） A．， B．， C．， D．， 9． 若函数的图象如图所示，且，则实数，的值可能为（       ） 10． 函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（ ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 11． 如图，曲线①②③④分别是指数函数，，，的图像，则实数a、b、c、d的大小关