作业3 平面向量的内积-课时培优必刷题中职二年级数学寒假作业

作业 3　 平面向量的内积 1.向量的内积 两个向量 a,b 的模与它们夹角的余弦值之积称为向量 a 与 b 的内积(或数量积),记作 a· b,即 a·b = . 零向量与任一向量的内积为 0,即 0·a = 0. 2.向量内积的运算律 a·b = ; (λa)·b = λ(a·b) = a·(λb); (a + b)·c = . 一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 向量 a,b 的夹角为 60°,且 | a | = 1, | b | = 2,则 a·b = (　 　 ) A. 4 B. 2 C. - 2 D. 1 2. 已知 a,b 是夹角为 120° 的单位向量,则 a·b = (　 　 ) A. 　 3 2 B. 1 2 C. - 　 3 2 D. - 1 2 3. 已知 | a | = 1, | b | = 2,a·b =- 1 2 ,则 cos〈a,b〉 = (　 　 ) A. - 1 4 B. - 3 4 C. 1 4 D. 3 4 5 4. 已知 a·b =- 3 3 , | a | = 2, | b | = 3,则 a 与 b 的夹角是 (　 　 ) A. π 6 B. π 3 C. 2π 3 D. 5π 6 5. 已知 | a | = 2, | b | = 3,且 a ⊥ b,则 | b - a | = (　 　 ) A. 1 B. 　 5 C. 　 13 D. 5 6. 已知 | a | = 3 , | b | = 2,向量 a,b 的夹角为π 6 ,则 | a + b | = (　 　 ) A. 10 B. 10 C. 13 D. 13 二、判断题(正确的打“√”,错误的打“✕”) 7. 若 a·b = 0,则 a = 0 或 b = 0. (　 　 ) 8. 若 a·b = b·c,则一定有 a = c. (　 　 ) 9. 两个向量的数量积仍是一个向量. (　 　 ) 三、填空题 10. 已知向量 a 与 b 的夹角为π 6 ,且 | a | = 2 | b | = 2,则 a·b = . 11. 设向量 a,b 满足 | a | = 1,a·b = 2,则 a· a + 2b( ) = . 12. 已知 | a | = 2, | b | = 4,a·b =- 4,则向量 a 与 b 的夹角为 . 13. 已知单位向量 a,b 的夹角为 60°,a - kb 与 b 垂直,则 k = . 四、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 14. 证明:(1)(a + b)·(a - b) = a2 - b2; (2)(a + b) 2 = a2 + 2a·b + b2 . 6 11. - 3a　 【解析】( - 5) × 3 5 a = - 5 × 3 5( ) a = - 3a. 12. 2 3 a + 1 3 b　 【解析】AD→ = AB→ +BD→ = AB→ + 1 3 BC→ = AB→ + 1 3 (AC→ -AB→) = 2 3 AB→ + 1 3 AC→ = 2 3 a + 1 3 b. 13. CB→　 【解析】BD→ -BA→ +DB→ -AC→ = AD→ +DB→ -AC→ = AB→ -AC→ = CB→. 14. 1 2 a + 1 2 b　 【解析】 在平行四边形 ABCD中,因为 AC 与 BD交于点 M,所以 M 为 AC 的中点,所以AM→ = 1 2 AC→ = 1 2 (AB→ + AD→) = 1 2 AB→ + 1 2 AD→ = 1 2 a + 1 2 b. 作业 3　 平面向量的内积 1. | a | | b | cos〈a,b〉 2. b·a　 a·c + b·c 1. D　 【解析】 因为向量 a,b 的夹角为 60°, | a | = 1, | b | = 2,所以 a·b = | a |·| b | cos 60° = 1 × 2 × 1 2 = 1. 2. D　 【解析】 由题意得 | a | = | b | = 1. 因为 a,b 的夹角为 120°, 所以 a · b = | a | | b | cos 120° = 1 × 1 × - 1 2( ) = - 1 2 . 3. A　 【解析】 因为 | a | = 1, | b | = 2,a·b = - 1 2 ,所以 cos〈a,b〉 = a·b | a | | b | = - 1 2 1 × 2 = - 1 4 . 4. D　 【解析】 设向量 a 与 b 的夹角为 θ,则 cos θ = a·b | a |·| b | = - 3 3 2 × 3 = - 3 2 . 因为 θ ∈ [0,π],所以 θ = 5π 6 . 5