串讲01 充要条件（考点串讲）-【中职专用】2023-2024学年高二数学上学期期末考点大串讲（北师大版2021）

串讲01 充要条件（考点串讲） 核心知识总览 01教材梳理 02考点精讲 考点1 命题真假的判定 考点2 四种命题的关系 考点3 p∧q，p∨q与p的应用 考点4 充分条件、必要条件、充要条件的判定 考点5 充分条件、必要条件、充要条件的应用 03过关测试 1.命题 (1)定义 在数学中，把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. (2)分类 ①真命题：判断为真的语句叫做真命题； ②假命题：判断为假的语句叫做假命题. 2.逻辑连接词简易逻辑联结词“且、或、非”的真假判断 可以概括为口诀：“p与p”一真一假，“p∨q”一真即真，“p∧q”一假就假. p q 綈p p∨q p∧q 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 3.四种命题 一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这两个命题叫做互逆命题. 如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把这两个命题叫做互否命题. 如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这两个命题叫做互为逆否命题. 把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题. 四种命题的相互关系 4.充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q p q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 5.充要条件 1．一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件． 概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 2．若p⇒q，但q p，则称p是q的充分不必要条件． 3．若q⇒p，但p q，则称p是q的必要不充分条件． 4．若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件． 考点1 命题真假的判定 【例1】判断下列命题的真假： ①已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d； ②若x∈N，则x3>x2成立； ③若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根； ④存在一个三角形没有外接圆. 【解析】①假命题.反例：1≠4,5≠2，而1＋5＝4＋2. ②假命题.反例：当x＝0时，x3>x2不成立. ③真命题：∵m>1⇒Δ＝4－4m<0， ∴方程x2－2x＋m＝0无实数根. ④假命题.因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆. 【方法总结】判断命题真假性的两个技巧： (1)真命题：判断一个命题为真命题时，会涉及学习过的概念、定理、公理、法则、公式等，借助于题目中的已知条件，经过严格科学的推理论证得出要证的结论. (2)假命题：判断一个命题为假命题时，只要举一反例即可. 【巩固训练】 下列命题是假命题的个数为(　　) ①多边形的外角和与边数有关； ②如果数量积a·b＝0，那么向量a＝0或b＝0； ③二次方程a2x2＋2x－1＝0有两个不相等的实根； ④函数f(x)在区间[a，b]内有零点，则f(a)·f(b)<0. A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】因为Δ＝4＋4a2>0，故③正确，而①②④都错误，均可举出反例. 考点2 四种命题的关系 【例2】设命题为“若k>0，则关于x的方程x2－x－k＝0有实数根”.写出该命题的否定、逆命题、否命题和逆否命题，并分别判断它们的真假. 【解析】命题的否定：若k>0，则关于x的方程x2－x－k＝0没有实数根.假命题； 逆命题：若关于x的方程x2－x－k＝0有实数根，则k>0.假命题； 否命题：若k≤0，则关于x的方程x2－x－k＝0没有实数根.假命题； 逆否命题：若关于x的方程x2－x－k＝0没有实数根，则k≤0.真命题. 【方法总结】四种命题的写法： ①明确条件和结论：认清命题的条件p和结论q，然后按定义写出命题的逆命题、否命题、逆否命题. ②应注意：原命题中的前提不能作为命题的条件. 【巩固训练】写出命题“若＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假. 【解析】逆命题：若x＝2且y＝－1，则＋(y＋1)2＝0，真命题. 否命题：若＋(y＋1)2≠0，则x≠2或y≠－1，真命题. 逆否命题：若x≠2或y≠－1，则＋(y＋1)2≠0，真命题. 考点3 p∧q，p∨q与p的应用 【例3】已知是无理数，命题，，则为真命题的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是无理数，所以命题为真命题，则为假命题， 因为对于时，恒成立，所以命题为假命题，则为真命题， 对于A，因为命题为真命题，命题为假命题，所以为假命题，所以A错误， 对于