第27章 利用相似解决圆中有关问题（3） 讲义 2023-2024学年人教版九年级数学下册

九年级数学下分层优化堂堂清 第27章 相似 专题 利用相似解决圆中有关问题 圆与相似三角形相综合是中考中的热门考点，解圆与相似三角形相综合的问题时，关键是要从圆中去抽取出相似三角形模型，然后利用相似三角形的性质去证明和求解相关问题．在证两三角形相似时，往往构造同弧所对的圆周角相等或直径所对的圆周角是直角；从而为证两三角形相似创造角相等的条件． 常用方法: ①利用垂径定理,通过在由半弦、半径、弦心距组成的直角三角形,运用勾股定理或相似进行计算: ②利用圆周角相等转移角的等量关系构造相似三角形; ③利用直径构造直角三角形构造相似三角形; 类型一 利用相似三角形求线段的长 【例1-1】如图，是的直径，弦，垂足为点E，点F在上． (1) 求证：； (2) 若，，求的长． 【例1-2】如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，与⊙O相交于点P，OA＝5．C是直线l上一点，连结CP并延长交⊙O于另一点B，且AB＝AC． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为3，求线段BP的长． 【例1-3】如图，已知AB为⊙O的直径，AC、CD是弦．于E．于F，连接BC (1) 求证：； (2) 若EB＝4cm，cm，求AC的长． 针对练习1 1 .如图，是的外接圆，与相切于点D，分别交，的延长线于点E和F，连接交于点N，的平分线交于点M． (1) 求证：平分； (2) 若，，求线段的长． 2.如图，已知，在ABC中，O为AB上一点，CO平分∠ACB，以O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O与BC相切于点B，交CO于点D，延长CO交⊙O于点E，连接BD，BE． （1）求证：AC是⊙O的切线． （2）若tan∠BDE，BC=6，求⊙O的半径． 类型二、利用相似三角形确定线段间的关系 【例2-1】如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AC＝AB，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E，连接AP、AF． （1）求证：AF∥BE； （2）求证：； 【例2-2】如图，在中，，平分，交于点，以上一点为圆心的经过点，，分别交，于点，． (1) 求证：是的切线； (2) 若，，求的半径； (3) 试探究线段，，三者之间满足的数量关系，并证明你的结论． 【例2-3】如图，已知A、B、C是圆O上的三点，AB＝AC，M、N分别是AB、AC的中点，E、F分别是OM、ON上的点． (1) 求证：∠AOM＝∠AON； (2) 如果AEON，AFOM，求证：． 针对练习2 1 .如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，过C作射线CE交AB的延长线于点E，且∠BAC＝∠ECB． （1）求证：CE是⊙O的切线． （2）若AB＝6，CE＝4，求BE的长． （3）求证：EB：EA＝CB2：CA2． 2.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．点P是劣弧上任一点（不与点A，D重合），CP交AB于点M，AP与CD的延长相交于点F． （1）设∠CPF＝α，∠BDC＝β，求证：α＝β+90°； （2）若OE＝BE，设tan∠AFC＝x，．①求∠APC的度数； ②求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围． 类型三 利用相似求圆中的最值 【例3-1】如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，以D为圆心，4为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF=90°，tan∠AEF=，则点F与点C的最小距离为________． 【例3-2】如图，在△ABC中，，，，点D在AC边上，且，动点P在BC边上，将△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，则△AEB面积的最小值是（   ） A． B． C．2 D． 【例3-3】如图1，在中，，以点B为圆心，半径作圆．点Р为上的动点，连接，作，使点落在直线的上方，且满足，连接．（1）求的度数，并证明； （2）若点P在上时，①在图2中画出；②连接，求的长； （3）点P在运动过程中，是否有最大值或最小值？若有，请直接写出取得最大值或最小值时的度数；若没有，请说明理由． 针对练习3 1 .正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是CD、BC边上的动点，且始终满足DE=CF，DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，连接BH．则BH的最小值为（    ） A． B． C． D． 2 .等腰直角中，，，点是平面内一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当 填度数度时，可以取最大值，最大值等于 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学下分层优化堂堂清 第27章 相似 专题 利用相似解决圆中有关问题（解析版） 圆与相似三角形相综合是中考中的热门考点，解圆与相似三角形相