4.2.1等差数列的概念（应用）（第二课时）课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

章节:第四章 数列 标题:4.2.1等差数列的概念 (应用习题) 第二课时 教学目标分解 教学目标 素养目标 1.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,得出等差数列的概念;并形成符号化定义 数学抽象逻辑推理 数学运算 直观想象 2.能根据定义探索归纳出等差数列的通项公式,能说出等差数列的通项公式与一次函数之间的共性与差异;会用函数的观点解释等差数列 3.能根据等差数列的定义推出等差数列的性质,会利用通项公式解决一些简单问题;并能运用这些性质简化运算 例3.某公司购置了一台价值为220万元的设备,随着设备在使用过程中老化,其价值会逐年减少.经验表明,没经过一年其价值就会减少(为正常数)万元.已知这台设备的使用年限为10年,超过10年,它的价值将低于购进价值的5%,设备将报废.请确定的取值范围. 课堂例题 解:设使用年后,这台设备的价值为万元,则可得数列. 由已知条件,得 由于是与无关的常数,所以数列是一个公差为的等差数列.因为购进设备的价值为220万元,所以 于是 根据题意,得即 解这个不等式组,得 所以,的取值范围为. 例4.已知等差数列的首项,公差,在中每相邻两项之间都插入3个数,使它们和原数列一起构成一个新的等差数列. (1)求数列的通项公式; (2)是不是数列的项?若是,它是的第几项?若不是,说明理由. 课堂例题 解(1):设数列的公差为. 由题意可知,,,于是 ∵,所以,∴. ∴. 所以,数列的通项公式是. 解(2):[解法一]数列的各项依次是数列的第1,5,9,13,…项,这些下标构成一个首项为1,公差为4的等差数列 则. 令解得 所以,是数列的第8项. 解(2):[解法二令, 解得所以,是数列的第8项. 在例4第(2)问的解法中,教科书的解法是“数列的各项依次是数列的第1,5,9,13,…项,这些下标构成一个首项为1,公差为4的等差数列则. 其实这种解法蕴含的是等差数列的一个重要性质(等距离项性质): 若是等差数列,公差为,则,,,…()是公差为的等差数列. 请同学们进行思考并推导! 例5 已知数列是等差数列,,且. 求证. 证明:设数列的公差为, 则, , 所以, 因为, 所以, 下标性质 概念1: 等差数列的一个等距离项性质: 若是等差数列,公差为,则,,,…()是公差为的等差数列. 下标性质:是等差数列,,且. . 作业巩固 课本P18 练习 课本P18 练习 课本P18 练习 非常感谢您的观看 1.某体育场一角看台的座位是这样排列的:第1排有15个座位,从第2排起每一排都比前一排多2个座位.你能用 表示第n排的座位数吗?第10排有多少个座位? 【详解】由条件可知,每排的座位数,看成等差数列,首项 , , 则 , . 综上可知, ,第10排的座位数 个. 4.已知数列 , 都是等差数列,公差分别为 , ,数列 满足 . (1)数列 是否是等差数列?若是,证明你的结论;若不是,请说明理由. (2)若 , 的公差都等于2, ,求数列 的通项公式. 【详解】(1)数列 是等差数列, 证明:因为数列 , 都是等差数列,公差分别为 , , 所以 ,又因为 , 故 EMBED Equation.DSMT4 , 而 ,所以数列 是以 为首项, 为公差的等差数列. (2)由(1)知:数列 是以 为首项, 为公差的等差数列, 而 , ,所以 . 5.已知一个无穷等差数列 的首项为 ,公差为d. (1)将数列中的前m项去掉,其余各项组成一个新的数列,这个新数列是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是多少? (2)取出数列中的所有奇数项,组成一个新的数列,这个新数列是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是多少? (3)取出数列中所有序号为7的倍数的项,组成一个新的数列,它是等差数列吗?你能根据得到的结论作出一个猜想吗? 【详解】(1)由题意可知,将无穷等差数列 的前m项去掉,其余各项组成一个新的数列为 ,这个新数列是等差数列,首项为 ,公差为 . (2)由题意可知,取出无穷等差数列 中的所有奇数项,组成一个新的数列为: ,这个新数列是等差数列,首项为 ,公差为 . (3)由题意可知,取出无穷等差数列 中所有序号为7的倍数的项,组成一个新的数列为: ,这个新数列是等差数列,首项为 ,公差为 . 猜想:等差数列每隔一定距离抽取一项后所组成的新数列仍是等差数列. $$