2.2 用配方法求解一元二次方程 课件 2023-2024学年北师大版数学九年级上册

第二章 一元二次方程 2.2 用配方法求解一元二次方程 教学目标 体会解一元二次方程的数学方法——降次. 理解配方法，并掌握配方法的过程和关键步骤，会用配方法解一元二次方程. 认识形如=p（p≥0）或=n（n≥0）的方程，并会用直接开平方法解一元二次方程. 1.如果x2=a，那么x叫做a的平方根. 当a为正数时，a有两个平方根，即x的值有两个，分别为_____； 当a为0时，a的平方根为±0=0，即x的值有两个，均为_____； 当a为负数时， a没有平方根，即x的值不存在. 2.（_____）2=a2-2ab+b2； （x+_____）2=x2+4x+_____. 0 a-b 2 4 知识回顾 问题： 一桶油漆可刷的面积为1500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 分析：设盒子的棱长为x dm，则一个盒子的表面积为6x2 dm2，所以10个盒子的表面积为（10×6x2） dm2， 根据题意列出的方程是10×6x2=1500. 如何求得x的值呢？ 问题导入 10×6x2=1500 等式性质 两边同除以60 x2=25 平方根的意义 x=±5. 因为棱长不能为负数， 所以盒子的棱长为5dm. 用方程解决实际问题时，要考虑所得结果是否符合实际意义. 问题解决 解下列方程，并通过互相交流，归纳出解x2=p的方法： （1）x2-1=0； （2）x2=0； （3）x2+1=0. x1=x2=0； x2=1 x=±1 x1=1，x2=-1； x2=-1 没有一个数的平方为负数， 方程无解. （1）当p＞0时，方程有两个不等的实数根x1=，x2=-； （2）当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0； （3）当p＜0时，方程没有实数根. 形如x2=p的方程的解法 新知探究 这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法. 解方程（x+3）2=5. 思考 （1）方程x2=5的解是什么？ （2）x2=5与（x+3）2=5有什么不同？ （3）请仿照 x2=5的解法求解方程（x+3）2=5. 形如(x＋m)2=n(n≥0)的方程的解法 新知探究 x1=，x2=-. 解方程（x+3）2=5. 解：由方程（x+3）2=5，得 x+3=± . 即x+3= ，或x+3=- . 于是方程（x+3）2=5的两个根为 x1= -3，x2=- -3. 归纳： 解一元二次方程的实质就是“降次”，通过对等式的左右两边进行开方，得到两个一元一次方程，最后通过解一元一次方程得解. 新知探究 形如(x＋m)2=n(n≥0)的方程的解法 解下列方程： （1）3x2-27=0； （2）（x+2）2-9=0；（3）x2-2x+1=16. （3）由x2-2x+1=16，得（x-1）2=16， 所以x-1=±4， 即x-1=4，或 x-1=-4， 所以x1=5，x2=-3. 方程的左边可以转化成完全平方式. （1）由3x2-27=0，得x2-9=0， 即x2=9， 所以x=±3. 所以x1=3，x2=-3； （2）由（x+2）2-9=0，得（x+2）2=9， 所以x+2=±3， 即x+2=3，或 x+2=-3， 所以x1=1，x2=-5； 解： 随堂练习 解方程：x2+6x+4=0. 思考 1.解一元二次方程的实质是什么？ 答：降次，将一元二次方程转化为一元一次方程. 2.直接对方程两边进行开平方满足的条件是什么？ 答：方程的一边为完全平方式，一边为非负数. 3.移项之后符号是否发生变化？ 答：变化. 4.等式两边加上同一个数（或式子），等式是否仍然成立？ 答：成立. 用配方法解一元二次方程 新知探究 解方程：x2+6x+4=0. 解：移项，得x2+6x= . 两边同加32，得 x2+6x+32 = +32. 所以（x+3）2= . 所以x+3= . 解得x1= ，x2= . -4 5 -4 -3+ -3- 像这样，通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法. 当二次项系数为1时，“方程两边加上一次项系数的一半的平方”是配方的关键. 因为x2+6x=x2+2×3×x， 所以x2+6x+32 =x2+2×3×x+32 =（x+3）2. 用配方法解一元二次方程 新知探究 运用配方法解一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1； （2）把常数项移到方程的右边； （3）方程两边加上一次项系数一半的平方