4.2.1方差的定义（课件）《概率论与数理统计》（上海交大出版社）

第四章 随机变量的数字特征 02 方差 先从例子说起。例如，有一批灯泡，其平均寿命是E(X)=1000 h，仅由这一指标我们还不能判定这批灯泡的质量好坏。事实上，有可能其中绝大部分灯泡的寿命都在950～1 050 h；也有可能其中约有一半是高质量的，它们的寿命大约有1 300 h，另一半却是质量很差的，其寿命大约只有700 h。为要评定这批灯泡质量的好坏，还需进一步考察灯泡寿命X与其均值E(X)=1000的偏离程度．若偏离程度较小，表示质量比较稳定。从这个意义上来说，我们认为质量较好。 前面也曾提到一个白领一年十二个月的收入是一个随机变量，但人们往往关注月平均收入，但两份月平均收入相同的工作，哪份工作会更好呢？这个时候就要考虑每个月实际收入和平均收入的偏离程度。 由此可见，研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的．那么，用怎样的方法去度量这个偏离程度呢？容易看到，E{|X- E(X)|}能度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度。但由于此式带有绝对值，计算不便，所以，通常用E{[|X- E(X)|]2}来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度。 一、方差的定义 定义1 设X是一个随机变量，若E{[|X- E(X)|]2}存在，则称E{[|X- E(X)|]2}为X的方差，记为D(X)或Var(x)，即 （4-11） 在实际应用中，还引入了量 ，记为(x)，称为标准差或方差。 由定义知，D(X)描述了随机变量X与其期望E(X)的偏离程度。D(X)越小，说明X的取值越集中；反之，D(X)越大，说明X的取值越分散。同样也描述了随机变量X的偏离程度。 若X为离散型随机变量，其分布律为 ，则由式（4-11）有 （4-12） X为连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，则由式（4-11）有 （4-13） 随机变量X的方差也可以按以下公式计算： （4-14） 解 因为 例1 设随机变量 分布，求D(X)。 所以 又 所以， 解 因为 例2 设随机变量 分布，求D(X)。 所以 又 所以， 由此可见，泊松分布中的参数，即是服从泊松分布的随机变量的数学期望，又是该随机变量的方差。 解 因为 例3 设随机变量 ，求D(X)。 所以 又 由式（4-14）可得 解 因为随机变量X服从指数分布，所以 例4 设随机变量X服从指数分布，其概率密度为 其中，>0，求E(X)。 又 所以 解 因为 例5 设随机变量 ，求D(X)。 所以 有 令 例5 设随机变量 ，求D(X)。 则 由上节讨论知，正态分布 中的参数是服从正态分布的随机变量的数学期望。本例告诉我们，正态分布 中的另一个参数2，就是服从正态分布的随机变量的方差． Thanks! $$