4.1.4随机变量函数的数学期望（课件）《概率论与数理统计》（上海交大出版社）

第四章 随机变量的数字特征 01 数学期望 四、随机变量函数的数学期望 定理1 设离散型随机变量X的分布律为 是实值连续函数，且级数 绝对收敛，则随机变量函数g(X)的数学期望为 (4-7) 四、随机变量函数的数学期望 定理2 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，g(x)是实值连续函数，且积分 绝对收敛，则随机变量函数g(X)的数学期望为 (4-8) 例10 设随机变量X的分布律如表所示，求随机变量函数Y=X2的数学期望。 X -1 0 1 P 例10 设随机变量X的分布律如表所示，求随机变量函数Y=X2的数学期望。 解 根据表可知，关于Y的边缘分布如表所示。 Y 0 1 P 因此，由式（4-7）知， 解 记圆面积为S，则 例11 对圆的直径作近似测量，设其测量值 ，求圆面积的数学期望。 又由已知X的概率密度为 则由式（4-8）有 定理3 设二维离散随机变量(X, Y)的分布律为 g(x, y)是实值连续函数，且级数 绝对收敛，则随机变量函数g(X, Y)的数学期望为 （4-9） 定理4 设连续型随机变量(X, Y)的概率密度为f(x, y)，g(x, y)是实值连续函数，且积分 绝对收敛，则随机变量函数g(X, Y)的数学期望为 （4-10） 解 例12 设(X, Y)的联合概率密度为 ，求E(X)，E(Y)。 例13 按季节出售的某种商品，每售出1 kg获利润6元，如到季末尚有剩余商品，则每千克净亏损2元，设某商店在季节内这种商品的销售量X是一种随机变量，X~U(8, 16)，则商店应进多少货，才可以保证利润最大。 解 设t表示进货量，易知应取8<t<16。进货t所得利润记为W(X)，且有 利润W(X)是随机变量函数，求最大利润即为求“平均利润”的最大值．X的概率密度函数为 例13 按季节出售的某种商品，每售出1 kg获利润6元，如到季末尚有剩余商品，则每千克净亏损2元，设某商店在季节内这种商品的销售量X是一种随机变量，X~U(8, 16)，则商店应进多少货，才可以保证利润最大。 由式（4-8）知 例13 按季节出售的某种商品，每售出1 kg获利润6元，如到季末尚有剩余商品，则每千克净亏损2元，设某商店在季节内这种商品的销售量X是一种随机变量，X~U(8, 16)，则商店应进多少货，才可以保证利润最大。 令 得 而 所以，当t=14时，E[W(X)]取极大值，也是最大值．也就是说，进货为14 kg时，平均利润最大，即所获得的利润最大． 五、数学期望的性质 性质1 设C是常数，则 。 性质2 若k是常数，则 。 五、数学期望的性质 性质3 。 这一性质可以推广到有限个随机变量的情况，即 。 五、数学期望的性质 性质4 设X, Y独立，则有 。 解 记随机变量Xi，则 指第i次试验中事件A发生， 指第i次试验中事件A不发生， ，其中，P(A)=P 例14 设随机变量 ，求E(X)。 由例1可知， 所以 Thanks! $$