4.1.1离散型随机变量的数学期望（课件）《概率论与数理统计》（上海交大出版社）

第四章 随机变量的数字特征 01 数学期望 引例 设某车间有200台车床，每台车床是否工作是随机的（即有时工作、有时不工作）。为了考虑该车间的电力供应问题，需要知道同时工作的车床数。而同时工作的车床数是一随机变量，记为X．现在对X进行n次观察，即选择n个不同的时刻，计算同时工作的车床数，得到n个数值。设随机变量X取0, 1, 2, …, 200的次数分别为m0, m1, m2, …, m200，显然有m0 + m1 + m2 +…+ m200 = n，如表所示。其中，X取k的频率为 。 X 0 1 2 … 200 次数 m0 m1 m2 … m200 频率 … 由表知，同时工作的车床数平均值为 这个数是与随机变量X密切相关的，但由于频率随观察次数n的变动而不同，所以这个数值带有一定的波动性。 由频率稳定性知，n很大时，频率 将在一定意义下接近于事件{X=k}]的概率Pk。这样，我们可以用概率Pk代替频率 ，并认为 为随机变量X的平均值。这是以概率为权的加权平均值，且这个数值仅仅依赖于随机变量X本身，这就是本章首先要介绍的重要概念——数学期望。 一、离散型随机变量的数学期望 定义1 设离散型随机变量X的分布律为 ，若级数 绝对收敛，则称级数 为随机变量X的数学期望，记为E(X)，即 （4-1） 数学期望简称期望或均值。 数学期望完全由随机变量X及其分布所确定，式（4-1）既是数学期望的定义式，也同时是数学期望的计算式。 由频率稳定性知，n很大时，频率 将在一定意义下接近于事件{X=k}]的概率Pk。这样，我们可以用概率Pk代替频率 ，并认为 为随机变量X的平均值。这是以概率为权的加权平均值，且这个数值仅仅依赖于随机变量X本身，这就是本章首先要介绍的重要概念——数学期望。 例1 设随机变量X~(0, 1)分布，求E(X)。 解 例2 设随机变量X~B(n, p)分布，求E(X)。 解 由定义式（4-1）知： 解 由定义式（4-1）知： 例3 设随机变量 分布，求E(X)。 Thanks! $$