重难培优05 圆锥曲线大题归类-2023-2024学年高二数学上学期考点剖析及精准练习（人教A版2019）

重难培优05圆锥曲线大题归类 题型一 已知斜率关系问题 1．已知圆过点，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为. (1)求圆的方程； (2)若为圆上两个不同的点，为坐标原点，设直线的斜率分别为，当时，求的斜率的取值范围. 2．已知椭圆：过点，且离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆和圆：．过点作直线和，且两直线的斜率之积等于1，与圆相切于点，与椭圆相交于不同的两点、，求的取值范围． 3．已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆C的方程； (2)若椭圆C的上顶点为P，过P的两条直线，分别与C交于异于点P的A，B两点，若直线，的斜率之和为，试判断直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由. 4．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，长轴长为4，离心率为. (1)求的方程. (2)已知点是上不关于坐标轴对称的两点，且满足（表示斜率），判断直线是否过定点.若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 5．已知椭圆的左、右焦点分别是，，上顶点为A，椭圆的焦距等于椭圆的长半轴长，且的面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若B，C是椭圆上不同的两点，且直线AB和直线AC的斜率之积为，求面积的最大值． 6．已知双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，且双曲线经过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)设为双曲线上异于点的两点，记直线的斜率为，若．求直线恒过的定点． 题型二 向量问题 7．已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上三个不同的动点（点不在轴上），满足，且与的周长的比值为． (1)求椭圆的离心率； (2)判断是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 8．在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点坐标是，且椭圆上的点到距离的最大值为，过点的直线交椭圆于点. (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围. 9．已知椭圆的离心率为，过其右焦点且与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限交于点，且． (1)求椭圆的方程； (2)已知点，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），为椭圆右焦点，点满足（为坐标原点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为中点，求直线斜率． 10．在平面直角坐标系中，点到点的距离等于点到直线的距离，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)已知点均在上，且，直线与的另一个交点分别为，且，求直线的斜率 11．经过点且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，且，，．求和． 12．已知椭圆：的离心率为，上焦点到上顶点的距离为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交椭圆于，两点，与定直线：交于点，设，，证明：为定值. 13．椭圆的离心率为，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相交于，两点，与轴相交于点，若存在实数，使得，求的取值范围． 题型三 切线问题 14．已知椭圆 的离心率是，两个焦点分别是，过作y轴的垂线交椭圆G于两点，三角形的面积是 (1)求椭圆G 的方程; (2)已知点Q 是抛物线 上一点，过点Q作抛物线的切线交椭圆G于两点，过点作切线的垂线交椭圆 G于两点，令，当点Q在椭圆G内部运动时，试确定是否有最小值?若有，求出该最小值；若没有，请说明理由. 15．已知点到直线：的距离和它到定点的距离之比为常数． (1)求点的轨迹的方程； (2)若点是直线上一点，过作曲线的两条切线分别切于点与点，试求三角形面积的最小值．（二次曲线在其上一点处的切线为） 16．已知椭圆的两焦点分别为是椭圆与轴的一个交点，且. (1)求该椭圆的方程及其离心率； (2)已知椭圆上点处的切线方程是；若点为直线上的动点，过点作该椭圆的切线，切点分別为，求的面积的最小值. 17．已知椭圆C：的左､右焦点分别为，，左顶点为D，离心率为，经过的直线交椭圆于A，B两点，的周长为8. (1)求椭圆C的方程； (2)过直线上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N， ①证明：直线MN过定点； ②求的最大值. 18．已知椭圆的焦距为2，圆与椭圆恰有两个公共点． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知结论：若点为椭圆上一点，则椭圆在该点处的切线方程为．若椭圆的短轴长小于4，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，求证：直线过定点． 19．已知椭圆经过点，且离心率为，为椭圆的左焦点，点为直线上的一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，连接，，． (1)证明：直线经过定点； (2)若记、的面积分别为和，当取最大值时，求直线的方程． 参考结论：为椭圆上一点，则过点的椭圆的切线方程为． 若在椭圆上，过点作椭圆的切线方程为； 若在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为； 若在椭圆上，过点作椭圆的切线方程为； 题型四 存在性问题 20．已知椭圆方程为，过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为． (1)求