3.1.1二维随机变量的概念（课件）《概率论与数理统计》（上海交大出版社）

概率论与数理统计 1 在第二章中，主要讨论了用一个随机变量所描述的随机现象，即一维随机变量及其分布问题。但是在实际问题中，有许多随机试验的结果，仅用一个随机变量来是无法表示出来的。例如，某人向平面靶射击，弹着点的确切位置就涉及两个随机变量：弹着点离靶心的水平和垂直方向上的有向距离 X 和 Y ；飞机在空中飞行时的位置，是一个三维空间中的点，需要用三个随机变量 X，Y，Z 来确定等。对于这些随机试验的研究，就需要引入二维或者多维随机变量的概念。本章将主要讨论二维随机变量及其分布，然后再推广到 n 随机变量的情况。 第一节 二维随机变量及其分布 3 一、二维随机变量的概念 定义1 设 是随机试验 E 的样本空间。若对于任意的 ，都有确定的两个实数 和 与之对应，则称有序二元总体 （ ， ）为一个二维随机变量（或称为二维随机向量），简记为 ；并称 X 和 Y 是二维随机变量 的两个分量。 实际上，对于试验的每一个结果，二维随机变量 的取得可以看成是平面点集上的一个点 。随着试验结果不同，二维随机变量 在平面点集上随机取点。为了更全面地描述二维随机变量取值的规律，我们也定义了二维随机变量的分布函数。 二、联合分布函数 定义2 设 是一个二维随机变量，对任意的 x，y，称定义在整个实平面上的二元函数 （3-1）为二维随机变量 的联合分布函数，简称分布函数。其中， 表示事件 与事件 的乘积。 二维随机变量 的联合分布函数是一个定义在平面点集上的二元实函数，在概率上，表示为对任意的 ，两事件 与 同时发生的概率；在几何上，表示为二维随机点 落在平面点集中坐标点 左下方的无穷矩形区域内的概率，如图3-1所示，故亦可表示为 。 这时，点 落入任一矩形区域 （见图3-2）的概率，即可由概率的加法性质求得： 。 （3-2） 图 3-1 图 3-2 由此可见，只要知道了 的联合分布函数，那么 取值与任一区域 G 内的概率即可求得。这也说明联合分布函数完全刻画出了二维随机变量的概率分布规律。 与一维随机变量分布函数的性质类似，不难推得，联合分布函数 具有以下性质： 性质1 分别是变量 x 和变量 y 的单调不减函数。 性质2 非负有界，即 。 性质3 对于任意固定 x ， ； 对于任意固定 y ， ； 且 。 性质4 分别是变量 x 和变量 y 右连续，即