2.4.2连续型随机变量的函数的概率密度（课件）《概率论与数理统计》（上海交大出版社）

概率论与数理统计 1 第四节 随机变量函数的概率分布 2 二、连续型随机变量的函数的概率密度 连续型随机变量是指随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间。对于连续型随机变量，不能像离散型随机变量那样，以指定它取每个值概率的方式去给出其概率分布，而是通过给出“概率密度函数”的方式来描述其概率分布。 例2 设随机变量 X 的概率密度为 求随机变量 的概率密度。 解 先求随机变量 Y 的分布函数 。 。 当 时， ， ； 当 时， ， ； 当 时， ， 。 综上所述， 再由概率密度与分布函数的关系，知 Y 的概率密度为 例3 设随机变量 ，求 的概率密度。 解 设随机变量 Y 的分布函数和概率密度分别为 则 。 当 时， ； 当 时， 。 于是随机变量 Y 的概率密度为 （2-34） 从上面两个例子中看到，要求连续型随机变量 的概率密度，总是先求 的分布函数，然后通过求导数得到 的概率密度，这种方法称为分布函数法。 在计算过程中，关键的一步是从“ ”中解出 X 应满足的不等式。下面就 是严格单调函数的情形给出一般的结果。 定理1 设随机变量 X 的取值范围为 （可以是无穷区间），其概率密度为 ，函数 是处处可导的严格单调函数，它的反函数为 ，则随机变量 的概率密度为 （2-35） 其中， ， 。 证明 当 处处可导且严格单调增加时，它的反函数 在区间 内也处处可导且严格单调增加，即 。所以当 时，有 。 当 时，有