2.4.1离散型随机变量函数的分布律（课件）《概率论与数理统计》（上海交大出版社）

概率论与数理统计 1 第四节 随机变量函数的概率分布 2 在许多实际问题中，所考虑的随机变量常常依赖于另一个随机变量。例如，有一批球，其直径 X 和体积 Y 都是随机变量，其中球的直径可以较方便地测量出来，而体积不易直接测量，但可由公式 计算得到，那么，若已知这批球直径 X 的概率分布，能否得到其体积的 Y 的概率分布呢？ 一般地，设 X 为随机变量， 为一元函数，且 X 的所有可能取值都落在 的定义域内，则 也是一个随机变量，称为随机变量 X 的函数。本节将讨论如何由随机变量 X 的概率分布求得 的概率分布。下面分别就离散型和连续型随机变量函数的分布进行讨论。 一、离散型随机变量函数的分布律 引例 设随机变量 X 的分布律如表 2-8 所示。 X -1 0 1 2 P 0.2 0.3 0.1 0.4 表2-8 求 的分布律。 解 随机变量 Y 的所有可能取值为 0，1，4，且 Y 取每个值的概率分别为 ， ， ， 所以随机变量 Y 的分布律如表 2-9 所示。 所以说，对于离散型随机变量，如果知道了它的分布列，也就知道了该随机变量取值的概率规律。在这个意义上，离散型随机变量由它的分布列唯一确定。 表2-9 Y 0 1 4 P 0.1 0.7 0.2 定义1 一般地，设离散型随机变量 X 的分布律为 。 记 。如果函数值 互不相等， 的分布律为 。 如果函数值 中有相等的情形，把 Y 取这些相等的数值的概率相加，作为 Y 取该值的概率，便可得到 的分布律。 例1 设随机变量 X 的分布律如表 2-10 所示： 求： （1） 的分布律； （2） 的分布律。 表 2-10 解 （1）当 X 取 -2，-1，0，1，2 时， 分别为 -3，-1，1，3，5，其中没有相同的数值，故 的分布律如表 2-11 所示。 表 2-11 （2）当 X 取 -2，-1，0，1，2 时， 分别为 4，1，0，1，4 ，把其中相同的数值合并，同时将相应的概率加在一起，得 的分布律如表 2-12 所示。 表 2-12 $$