3.3.1 抛物线及其标准方程练习 -2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3.1　抛物线及其标准方程 一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.抛物线y2=2x的焦点到其准线的距离是 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 2. 抛物线2y+3x2=0的准线方程为 (　 ) A.x= B.x= C.y= D.y=- 3.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为,则p= (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,y1),B分别是抛物线上位于第一、四象限的点,若|AF|=10,则|y1-y2|= (　 ) A.10 B.12 C.14 D.16 5.已知点A,B在抛物线y2=2px(p>0)上,O是坐标原点,若等边三角形OAB的面积为4,则该抛物线的方程是 (　 ) A.y2=x B.y2=x C.y2=2x D.y2=x 6. 若抛物线C:y2=ax(a>0)上的点M(1,m)到焦点的距离为3,则焦点到y轴的距离为 (　 ) A.8 B.4 C.2 D.1 7. 抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-4,F为抛物线的焦点,P为抛物线上的一个动点,Q为曲线C:x2-10x+y2-2y+22=0上的一个动点,则|PF|+|PQ|的最小值为 (　 ) A.7 B.7 C.8 D.8 8.(多选题)顶点为原点,焦点在y轴上,且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程可能是 (　 ) A.x2=3y B.x2=-3y C.x2=12y D.x2=-12y 9.(多选题)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点M(x0,y0)在抛物线C上,若|MF|=4,则 (　 ) A.x0=3 B.y0=2 C.|OM|= D.点F的坐标为(0,1) 二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 10. 已知动点M到点F(4,0)的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2,则动点M的轨迹方程是　　　　.  11.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,点P在C上,过点P作l的垂线交l于点E,且∠PFE=60°,|PF|=6,则抛物线C的方程为　　　　.  12.如图L3-3-1,某河流上有一座抛物线形的拱桥,已知桥的跨度AB=10米,高度h=5米(即桥拱顶到基座AB所在的直线的距离).由于河流上游降雨,导致河水从桥的基座A处开始上涨了1米,则此时桥洞中水面的宽度为　　　　米.  图L3-3-1 三、解答题(本大题共2小题,共20分) 13.(10分)根据下列条件写出抛物线的标准方程. (1)经过点(-3,-5); (2)焦点在x轴的负半轴上,且焦点到准线的距离是6. 14.(10分) 已知点F(2,0),直线l:x=-2,动点P到点F的距离与它到直线l的距离相等. (1)试判断动点P的轨迹C的形状,并写出C的方程; (2)求动点P到直线y=3x+4的距离与到y轴的距离之和的最小值. 15.(5分)已知曲线C由抛物线y2=2x及抛物线y2=-2x组成,A(1,2),B(-1,2),M,N是曲线C上关于y轴对称的两点(A,B,M,N四点不共线,且点M在第一象限),则四边形ABNM周长的最小值为 (　 ) A.2+ B.1+ C.3 D.4 16.(15分)如图L3-3-2所示,A地在B地北偏东45°方向,相距2 km处,B地与东西走向的高铁线(近似看成直线)l相距4 km. 已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离,现要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计),分别向A地、B地送电. (1)试建立适当的平面直角坐标系,求曲线形公路PQ所在曲线的方程. (2)问变电房M应建在相对A地的什么位置(方位和距离),才能使架设电路所用电线长度最短?并求出最短长度. 图L3-3-2 3.3　抛物线 3.3.1　抛物线及其标准方程 1.A　[解析] 抛物线y2=2x的焦点坐标为,准线方程为x=-,所以焦点到准线的距离d=-=1.故选A. 2.C　[解析] 由2y+3x2=0,得x2=-y,所以抛物线的准线方程为y=.故选C. 3.B　[解析] 抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为,因为焦点到直线y=x+1的距离为,所以=,解得p=2,故选B. 4.B　[解析] 由抛物线的定义得|AF|=10=2+,解得p=16,则抛物线的方程为y2=32x,又点A(2,y1),B分别是抛物线上位于第一、四象限的点,所以可得则|y1-y2|=12.故选B. 5.A　[解析] 设等边三角形OAB的边长为a,则a2=4,可得a=4.根据抛物线的对称性可知∠AOx=