2.2.3泊松（Poisson）分布（课件）《概率论与数理统计》（上海交大出版社）

概率论与数理统计 1 第二节 离散型随机变量及其概率分布 2 3．泊松（Poisson）分布 如果随机变量 X 的所有可能取值为 ，并且 ， （2-12） 其中 为常数，则称随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，记作 。 容易验证， ( )； 。 图2-4 在实际问题中经常会遇到服从泊松分布的随机变量。例如，某急救中心一天内收到的呼救次数，某印刷品一页上出现的印刷错误个数，某地区一段时间内迁入的昆虫数目等都服从泊松分布。 对于固定的 ，当 k 增加时，概率 先是随之增加，当 k 增大到一定范围之外时，相应的概率便急剧下降，如图2-4所示。书后附表给出了泊松分布表，以便查阅。 例5 设每分钟通过某交叉路口的汽车流量 X 服从泊松分布，且已知在一分钟内恰有一辆车通过的概率和恰有两辆车通过的概率相等，求在一分钟内至少有三辆车通过的概率。 解 设 X 服从参数为 的泊松分布，则 X 的分布律为 。 又 ，即 ， 解得 ，所以在一分钟内至少有三辆车通过的概率为 。 查泊松分布表，当 时， ， ， ， 从而 。 在概率论的发展史上，泊松分布是作为二项分布的近似而引入的，下面给出二项分布与泊松分布的关系定理。 泊松定理 设 为随机变量序列，并且 。如果 ( 为常数)，则有 。 证明 设 ，则 ，从而对任意固定的非负整数 k ，有 对于固定的 k ，当 时：