2.2.2二项分布（课件）《概率论与数理统计》（上海交大出版社）

概率论与数理统计 1 第二节 离散型随机变量及其概率分布 2 二、几种重要的离散型随机变量及其分布律 1．（0-1）分布 如果随机变量 X 只可能取 0 和 1 两个值，其分布律为 ， ， 或写成 ， （2-9） 则称随机变量 X 服从参数为 P 的（0-1）分布（或两点分布）。它的分布律也可以写成如表 2-4 所示的形式。 表2-4 （0-1）分布是一种常见的分布，如果随机试验只有两个对立结果 A 和 ，或者一个试验虽然有很多个结果，但我们只关心事件 A 发生与否，那么就可以定义一个服从（0-1）分布的随机变量，如对产品合格率的抽样检测、新生儿性别的调查等。 2．二项分布 在 n 重伯努利试验中，设 ，用 X 表示 n 次试验中事件 A 发生的次数，则 X 的所有可能取值为 。由第一章中的二项概率公式知 X 的分布律为 。 （2-10） 显然 ( )； ， 即式（2-10）满足分布律的性质。 一般地，如果随机变量 X 的分布律由式（2-10）给出，则称随机变量 X 服从参数为 n ，p 的二项分布（或伯努利分布），记作 。 特别地，当 时，二项分布 的分布律为 。 这就是（0-1）分布。这也说明了（0-1）分布是二项分布在 时的特例。 例3 某射手射击的命中率为 0.6，在相同的条件下独立射击 7 次，用 X 表示命中的次数，求随机变量 X 的分布律。 解 每次射击命中的概率都是 0.6，独立射击 7 次是 7 重伯努利概型，因此，随机变量 ，于是 ， 。 计算可知 X 的分布律如表 2-5 和图 2-2 所示。 表 2-5 图 2-2 随机变量X的分布律图 从图 2-2 中可以看到，当 k 增加时，概率 先是随之单调增加，直到达到最大值 ，然后单调减少。 一般地，对于固定的 n 及 p ，当 k 增加时，概率 先是随着 k 的增加而增加，直至某点（ ）时达到最大值，然后再随着 k 的增加而减少。事实上，若随机变量 X 在 点处的概率最大，必须满足不等式 ，由解这个不等式可得