1.2.2等可能概型（古典概型）（课件）《概率论与数理统计》（上海交大出版社）

概率论与数理统计 1 第二节 随机事件的概率 2 三、等可能概型（古典概型） 古典概型是一类最简单且又常见的随机试验，这类试验具有以下特点。 （1）有限性：试验的样本空间元素只有有限个，即 ； （2）等可能性：试验中每个基本事件发生的可能性相同，且两两互不相容，即 。 具有这种性质的随机现象的数学模型称为等可能概型，它在概率论发展初期曾是主要的研究对象，所以也称为古典概型。等可能概型的一些概念具有直观、容易理解的特点，有着广泛的应用。 定义3（概率的古典定义） 设在古典概型中共有 n 个基本事件，随机事件 A 包含其中 k 个基本事件，则事件 A 发生的概率为 。 例4 某班27人，女生6人，从班上任选8名班干部，求这8名班干部里有3名女生的概率。 解 基本事件空间 {从班上任选8名班干部的各种选法}， {8名班干部里有3名是女生的选法}，则 。 在计算古典概率时，所使用的基本工具是排列组合计算法，所使用的基本模型是“摸球”模型。以下举例说明。 设一袋中有 n 个编好号码的小球，从中抽取 r 次，每次一球。抽取方法分两种： （1）有放回抽取，即每次取出一球记下号码后放回袋中，混合后再进行下次抽取。这时样本点总数为 个。 （2）不放回抽取，即每次取出一球后不再放回又抽取下一球。这时样本点总数为 。 显然，前一种抽取时，r 可以大于 n ；而后一种抽取时有 。 例5 一袋中有 60 个白球和 40 个红球，从中摸取三次，每次一球。设 A 表示“恰有两次都取到红球”。请在（1）有放回抽样，（2）不放回抽样条件下求 。 解 显然，袋中有 100 个球。 （1）有放回抽样时，由于每次抽取后都放回，故每次抽取的球都是原 100 个球，则从100 个球中任取三个的所有可能取法共有 ，即样本空间包含的基本样本点总数为 。 因任取三球中有两个红球的可能取法有 种，且这两个红球是从40个红球中摸取，其可能取法有 ，另一个球是白球，是从60个白球中摸取，有60种取法，因此事件A中样本点数为 ，于是 。 （2）不放回抽样时，由于每次摸一个球后不放回，因此第一次是从原 100 个球中任意摸取，第二次是从第一次摸取后剩下的 99 个球中任意取得，第三次是从第二次摸取后剩下的 98 个球中任意摸取，因此从 100 个球中任意摸取三个球的所有可能取法共有 ，此时样本空间样本点总数为 。同理可求得事件 A 中样本点数为 ，故 。 注意 从本例计算结果说明，在被抽取对象的数量较大的情况下，用放回抽样与不放回抽样，其算得事件的概率是十分相近的，无明显差异。在大样本情况下，常把不放回抽样当作放回抽样来处理。但当被抽取对象的数量较少时，两者会有较大差异，此时需严格区分是放回抽样还是不放回抽样。 例6 一袋中装有