第二章 一元二次方程-【新课程能力培养】2023-2024学年九年级上册初中数学同步练习（北师大版）

一元二次方程 第二章 知识网络 自主导学 典例精析 例题 下列方程一定是一元二次方程的是 （ ） A． 3x 2 + 2 x -1=0 B． 5x 2 -6y-3=0 C． ax 2 -x+2=0 D． 3x 2 -2x-1=0 【分析】 根据一元二次方程的定义解答， 一元二次方程必须满足四个条件： （ 1 ） 未知数 的最高次数是 2 ； （ 2 ） 二次项系数不为 0 ； （ 3 ） 是整式方程； （ 4 ） 含有一个未知数 ． 用这 四个条件对四个选项进行验证， 满足这四个条件者为正确答案 ． 【解答】 D 【点拨】 本题考查了一元二次方程的概念， 判断一个方程是不是一元二次方程， 首先要 看是不是整式方程， 然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是 2． 1 认识一元二次方程 （第 1课时） 第二章 一元二次方程 定义→ax 2 +bx+c=0 （ a， b， c为常数， a≠0） 当 b 2 -4ac>0时， 方程有两个不等实根 当 b 2 -4ac=0时， 方程有两个相等实根 当 b 2 -4ac<0时， 方程无实根 应用 根的判别式 近似解→逼近法 解方程方法 精确解 配方法 公式法 因式分解法 方程根 （x 1 ， x 2 ） 与方程系数 （a， b， c） 的关系→ x 1 +x 2 =- b a ， x 1 x 2 = c a a " 一 元 二 次 方 程 27 九年级上册 （北师大版）数学 基础巩固 达标闯关 1. 方程 （ 3x+1 ）（ x－2 ） －4=0 的一般形式是 ， 它的二次项是 ， 一次 项是 ， 常数项是 . 2. 两个连续的偶数的积是 228 ， 如果设较小的一个偶数为 x ， 则另一个偶数可以表示为 ， 根据题意可列出方程为 . 3. 若方程 （ k＋2 ） x 2 －7x－9=0 是关于 x 的一元二次方程， 则 k 满足 . 4. 已知下列方程： （ 3x－2 ）（ x＋5 ） =2 ， 2x 2 ＋y＋4=0 ， 3 x ＋x=1 ， x 2 y＋x 2 －1=xy＋1 ， x 2 －7=0 ， 4x 2 =x ， z 2 +2z=－3 ， 其中为一元二次方程的个数为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 关于 x 的一元二次方程 （ m-3 ） x 2 +m 2 x=9x+5 化为一般形式后不含一次项， 则 m 的值为 （ ） A. 0 B. ±3 C. 3 D. -3 6. 某商品经过两次连续降价， 每件售价由原来的 55 元降到了 35 元 . 设平均每次降价的 百分率为 x ， 则下列方程中正确的是 （ ） A. 55 （ 1+x ） 2 =35 B. 35 （ 1+x ） 2 =55 C. 55 （ 1－x ） 2 =35 D. 35 （ 1－x ） 2 =55 7. 将下面表格中的方程化成一元二次方程的一般形式， 并写出二次项、 一次项的系 数和常数项 . 能力提升 综合拓展 8. 关于 x 的方程 （ k+3 ）（ k-1 ） x 2 + （ k-1 ） x+5=0. k 为何值时， 方程是一元二次方程？ 一元二次方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 3x=5－2x 2 （ 2x－1 ） 2 +4x=7 1 2 x （ x+1 ） =3 （ x-2 ） +1 28 一元二次方程 第二章 9. 一个直角三角形的三条边的长是三个连续自然数， 如果设这个三角形最短的边长为 x ， 请列出关于 x 的方程， 并将方程整理为一般形式 . 10. 有一间长 20 m 、 宽 15 m 的会议室， 在它的中间铺一块地毯， 地毯的面积是会议室 面积的 1 2 ， 四周未铺地毯的留空宽度相同， 求留空的宽度 . （只要求列出方程， 并将方程 整理为一般形式） 11. 某宾馆有 50 个标准间， 每个标准间收费 120 元时可全部租出 . 为了尽可能降低消耗， 同时又增加收入， 宾馆决定提高标准间的出租价格， 若每个标准间每晚涨价 10 元， 每晚减 少 2 个标准间租出 . 宾馆若每晚收入 6 600 元， 那么每个标准间应涨价多少元？ 这时每晚出 租多少个标准间？ （只要求列出方程， 并将方程整理为一般形式） 中考链接 真题演练 12. （ 2022 ·衢州） 将一个容积为 360 cm 3 的包装盒剪开铺平， 纸样如图所示 . 利用容积列出图中 x （ cm ） 满足的一元二次方程 是 （不必化简） . 13. （ 2022 ·泰安） 我国古代著作 《四元玉鉴》 记载 “买椽多 少” 问题： “六贯二百一十钱， 遣人去买几株椽 . 每株脚钱三文 足， 无钱准与一株椽 . ” 其大意为： 现请人代买一批椽， 这批椽 的价钱为 6 21