第五章 二元一次方程组-【新课程能力培养】2023-2024学年八年级上册初中数学同步练习（北师大版）

八年级上册 （北师大版）数学 知识网络 自主导学 典例精析 例题 1 《九章算术》 中记载： “今有牛五、 羊二， 直金十两； 牛二、 羊五， 直金八 两 . 问： 牛、 羊各直金几何？” 译文： “假设有 5 头牛、 2 只羊， 值金 10 两； 2 头牛、 5 只羊， 值金 8 两 . 问： 每头牛、 每只羊各值金多少两？” 设每头牛值金 x 两， 每只羊值金 y 两， 请你 列方程组 . 【分析】 根据 “ 5 头牛、 2 只羊， 值金 10 两； 2 头牛、 5 只羊， 值金 8 两”， 得到等量关 系， 5 头牛的钱 +2 只羊的钱 =10 两金； 2 头牛的钱 +5 只羊的钱 =8 两金， 即可列出方程组 . 【解答】 5x+2y=10 ， 2x+5y=8 8 . 【点拨】 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组， 解题的关键是找到题目中所存 在的等量关系， 并用含未知数 x ， y 的代数式表示等量关系中的其他未知量， 代入等量关系 中， 即可列出方程组 . 1 认识二元一次方程组 二元一次方程组 丰富的现 实情境 概念 二元一次方程组及二元一次方程组的解 二元一次方程及二元一次方程的解 三元一次方程组 解法 （代入法、 加减法） 相关概念 解法 应用 图象法→二元一次方程与一次函数的关系 代入法 加减法 鸡兔同笼问题 增收节支问题 里程碑上的数 第五章 二元一次方程组 76 二元一次方程组 第五章 例题 2 小明带 7 元钱去买中性笔和橡皮 （两种文具都买）， 中性笔每支 2 元， 橡皮每 块 1 元， 那么小明能买中性笔多少支？ 【分析】 设小明买中性笔与橡皮的数量分别为 x ， y ， 根据 “中性笔钱数 + 橡皮钱数 =7 ” 这个等量关系列出二元一次方程， 并结合 x ， y 的解为正整数的特点， 将可能符合要求的 y 的正整数解代入方程中， 求符合要求的 x 正整数解 . 【解答】 设买中性笔 x 支、 橡皮 y 块， 根据题意得 2x+y=7. 当 y=1 时， 代入方程， 得 x=3 ， 解是正整数， 即 x=3 ， y= = 1 是方程的一组解； 当 y=2 时， 代入方程， 得 x=2.5 ， 解不是正整数， 舍去； 当 y=3 时， 代入方程， 得 x=2 ， 解是正整数， 即 x=2 ， y= = 3 是方程的一组解 ; 当 y=4 时， 代入方程， 得 x=1.5 ， 解不是正整数， 舍去； 当 y=5 时， 代入方程， 得 x=1 ， 解是正整数， 即 x=1 ， y= = 5 是方程的一组解 . 所以小明能买中性笔 1 支、 2 支或 3 支 . 【点拨】 此题主要考查了二元一次方程的正整数解， 正确分类讨论是解题关键 . 基础巩固 达标闯关 1. 小英和她的同学到超市为班级买奖品 . 她们买了单价为 3 元的钢笔和单价为 2 元的笔 记本， 共花了 75 元 . 如果设她们买了 x 支钢笔、 y 个笔记本， 则可列出关于 x ， y 的二元一次 方程为 ， 若小英她们买了 15 支钢笔， 那么购买了 个笔记本 . 2. 二元一次方程 3x+2y=7 的一组解为 （只写出一组解即可） . 3. 若 x=-3 ， y= = 2 是关于 x ， y 的二元一次方程 2x+4y+2a=3 的一个解， 则 a= . 4. 下列方程组中， 是二元一次方程组的是 （ ） A. x+y=-7 ， xy=1 = 2 B. 3x+y=7 ， x y =1 1 $ $ $ $ # $ $ $ $ % 2 C. 2x-y=12 ， y=3- = x D. 2x-y=12 ， x 2 -2y+1= = 0 5. 方程组 2x-y=3 ， 3x+2y= = 1 的解是 （ ） A. x=0 ， y=0. = 5 B. x=0 ， y=- = 3 C. x=0.5 ， y=- = 2 D. x=1 ， y=- = 1 6. 把一根 9 m 长的钢管截成 1 m 长和 2 m 长两种规格均有的短钢管， 且没有余料， 设某 种截法中 1 m 长的钢管有 a 根， 则 a 的值可能有 （ ） A． 3 种 B． 4 种 C． 5 种 D． 9 种 77 八年级上册 （北师大版）数学 7. 母亲节那天， 小影同学给妈妈准备了鲜花和礼盒， 如图 . 如果设鲜花每束 x 元， 礼盒每个 y 元， 请根据图中信息列出关于 x ， y 的方程组 . 8. 王阿姨和李奶奶一起去超市买菜， 王阿姨买西红柿、 茄子、 青椒各 1 kg ， 共花 12.8 元； 李奶奶买西红柿 2 kg 、 茄子 1.5 kg ， 共花 15 元 . 已知青椒每千克 4.2 元， 请你求出每千 克西红柿、 茄子各多少元 . （只列出方程组即可