厦门大学2023年强基计划数学试题

2023年福建省厦门大学强基计划数学试卷 1．变换将复平面（z＝x+yi）上的直线x＝1变换为W平面（w＝p+qi）（p，q∈R）上的曲线C　 　． 2．在（﹣1，1）上任取个2数，求两数之和小于0.4的概率是 　 　． 3．若椭圆的内接等腰三角形ABC的底边平行于x轴，求△ABC的面积最大值 　 　． 4．已知，求f（x）＝g（x），20]上所有根的和 　 　． 5．已知m，n为整数，若二元函数f（m，n）（m，n）＝f（m+1，n）+f（m﹣1，n）（m，n+1）+f（m，n﹣1），则称f（m，n） 下列哪些是兔函数： （1）f（m，n）＝m2﹣n2； （2）； （3），其中eb+e﹣b＝4． 6．已知正整数a，b互素，问a2+b2和ab是否互素？ 7．已知x1＝a，x2＝b，xn+2＝，则x2023＝　 　，前2023项和是 　 　． 8．从1到100中至少取 　 　个数才能保证一定存在2个数互素． 9．n位选手进行围棋单循环比赛，即两人之间恰进行一场比赛．已知现在已经进行了12场比赛，其中6人已赛3场，则n的最小值为 　 　． 2023年福建省厦门大学强基计划数学试卷 参考答案与试题解析 1．变换将复平面（z＝x+yi）上的直线x＝1变换为W平面（w＝p+qi）（p，q∈R）上的曲线C　　． 【分析】根据定义，写出，＝，表示出p＝，q＝﹣，平方相加，求出p，q满足的方程，判断曲线的形状，进而求出结果． 【解答】解：∵z＝1+bi，＝＝， ∵w＝p+qi， ∴p＝，q＝﹣， p2+q2＝（）5+（﹣）2＝＝p， ∴（p﹣）2+q2＝， ∴曲线C是以（，6）为圆心，， ∴曲线C围成的面积为． 【点评】本题考查新定义的理解，复数的运算，圆的面积，属基础题． 2．在（﹣1，1）上任取个2数，求两数之和小于0.4的概率是 　0.68　． 【分析】在（﹣1，1）上任取个2数，设两数为x，y，用出图形，利用几何概型能求出两数之和小于0.4的概率． 【解答】解：在（﹣1，1）上任取个2数，y，如图， ∵两数之和小于0.4，∴， ∴两数之和小于5.4的概率为． 故答案为：7.68． 【点评】本题考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3．若椭圆的内接等腰三角形ABC的底边平行于x轴，求△ABC的面积最大值 　　． 【分析】由题意，设等腰△ABC的底边AB平行于x轴，点E为线段AB中点，C，D分别为椭圆的上，下顶点，得到结合三角形面积公式得到△ABC的表达式，构造函数，对函数f（x）进行求导，利用导数得到函数f（x）的单调性和最值，进而可得△ABC的面积最大值． 【解答】解：不妨设等腰△ABC的底边AB平行于x轴， 易知AC＝BC， 不妨设点E为线段AB中点，C，D分别为椭圆，下顶点， 此时C（8，b），﹣b）， 易知△ABC的面积要大于△ABD的面积， 又 不妨设AE＝BE＝x， 可得，， 在△ABC中，以AB为底边， 则△ABC面积S＝， 不妨设，函数定义域为（0， 可得f′（x）＝， 当0＜x＜时，f′（x）＞0； 当＜x＜a时，f（x）单调递减， 所以当x＝时，函数f（x）取得极大值也是最大值）＝． 故答案为：． 【点评】本题考查椭圆的定义以及利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力． 4．已知，求f（x）＝g（x），20]上所有根的和 　64　． 【分析】利用函数的对称性，数形结合即可求解． 【解答】解：因为，所以f（x）的图像关于点（8， 而函数g（x）＝的图像也关于点（8， 在同一直角坐标系内作出两函数的图像，如图所示： 由图像可知这两个函数图像有8个交点，即共有4对关于（8， 所以方程f（x）＝g（x）在[﹣4，20]上所有根的和为8×2×8＝64． 故答案为：64． 【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题． 5．已知m，n为整数，若二元函数f（m，n）（m，n）＝f（m+1，n）+f（m﹣1，n）（m，n+1）+f（m，n﹣1），则称f（m，n） 下列哪些是兔函数： （1）f（m，n）＝m2﹣n2； （2）； （3），其中eb+e﹣b＝4． 【分析】由兔函数的定义逐项判断即可． 【解答】解：（1）由f（m+1，n）+f（m﹣1，n﹣2）+f（m ＝（m+1）2﹣n5+（m﹣1）2﹣n2+m2﹣（n﹣1）2+m2﹣（n+1）6 ＝2（m2+7﹣n2）+2（m7﹣n2﹣1） ＝3（m2﹣n2） ＝3f（m，n）， 所以f（m，n）＝m2﹣n2是兔函数． （2）取m＝n＝4，可知f（2，