6.3 反比例函数与面积综合 2023-2024学年北师大版九年级数学上册

反比例函数的应用 【考点·方法·破译】 反比例函数与几何图形综合问题,常涉及以下几个方面： 1.求反比例函数的解析式. 2.求点的坐标 (1)已知该点的横坐标(或纵坐标),代入已知解析式求解; (2)给出图形的面积或其他条件求点的坐标：应根据解析式设出该点的坐标,根据图形面积或其他条件列出方程(组),解之即可; (3)观察图象,判断两函数图象在交点两侧的部分的上、下位置关系(若图象不全,则先将图象补充完整),再根据题中的不等式求自变量的取值范围; 3.求不规则三角形的面积时：通常采用分割法,把不规则三角形转化为两个同底的规则三角形求面积(此处的规则是指三角形三边中某一边与坐标轴平行或重合). 注意：求面积时,要充分利用“数形结合”的思想,即用“坐标”求“线段”,用“线段”求“坐标”. §利用点的坐标求面积 例1、如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线与直线在第二象限的交点，AB⊥轴于B且S△ABO= （1）求这两个函数的解析式 （2）根据图象直接写出使成立的x的取值范围； （2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积。 例2、如图，直线y＝kx+b与双曲线y相交于点A（2，3），B（n，1）． （1）求双曲线及直线对应的函数表达式； （2）将直线AB向下平移至CD处，其中点C（﹣2，0），点D在y轴上．连接AD，BD，求△ABD的面积； （3）请直接写出关于x的不等式kx+b的解集． 例3、如图，与一次函数y＝mx+n的图象交于点A（2，6），且y＝mx+n 与y＝4x+2的图象交于y轴上同一点B．将过点A、B的直线向下平移，平移 后的直线与反比例函数的图象交于点C，交y轴于点D，且点C的横坐标为3． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）连结AC、AD，求△ACD的面积； 【小试牛刀】 1、如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点A﹙－2，－5﹚、C﹙5，n﹚，交y轴于点B，交x轴于点D． (1) 求这个反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围. (3) 连接OA，OC．求△AOC的面积． 2、如图，一次函数图象与反比例函数的图象相交于点A（－1，2）、点B（－4，n） ⑴求一次函数和反比例函数的解析式； ⑵求△AOB的面积. 3、如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点． （1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接OB，在x轴上取点C，使BC＝BO，求△OBC的面积； 4、如图，直线y＝mx+n与双曲线相交于A（﹣1，3）、B（3，b）两点，与y轴相交于点C． （1）求直线AB的解析式； （2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积； （3）不用计算，请直接写出不等式的解集． 5、如图，已知一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y的图象交于点A（1，n），B（﹣2，﹣1）两点，与y轴交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式ax+b的解集； （3）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积． 6、如图，反比例函数y（k≠0）的图象与一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象交于A（1，4），B（﹣2，﹣2）两点． （1）分别求反比例函数和一次函数的表达式； （2）直接写出不等式mx+n的解集； （3）若点A与点C关于x轴对称，连接AC，BC，求△ABC的面积． §利用面积求点的坐标 例1、如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y=（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B两点，与x轴交于点C． （1）求此反比例函数的表达式； （2）若点P在x轴上，且S△ACP=S△BOC，求点P的坐标． 例2、如图，一次函数y=k1x+1的图象与反比例函数(k2＞0)点的图象相交于A、B两点，点C在x轴正半轴上，点D（1，-2），连接OA、OD、DC、AC，四边形OACD为菱形． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出反比例函数值大于一次函数值时，x的取值范围； （3）设点P是直线AB上一动点，且S△OAP=S菱形OACD，求点P的坐标． 例3、 如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数在第一象限的 图象交于A（1，a）和B（2，b）两点，与x轴交于点C． （1）求反比例函数的关系式； （2）根据图象，当时x的取值范围为：_____________； （3）若点P在x轴上，且，求点P的坐标； 例4、如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数第一象限交于M（1，6）、N （6，m）两点，点P是x轴负半轴上一动点，连接PM，PN． （1）求一次函数的表达式； （2）若△PMN的面积为，求点P的坐标； 例