专题02 空间向量研究距离、夹角问题（考点清单）-2023-2024学年高二数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019）

专题02 空间向量研究距离、夹角问题（考点串讲） 目录 一、思维导图 1 二、知识回归 2 三、典型例题讲与练 4 考点清单01点到平面距离 4 【考试题型1】利用空间向量求点面距 4 【考试题型2】利用等体积法求点面距 8 考点清单02异面直线所成角 12 【考试题型1】异面直线所成角 12 【考试题型2】异面直线所成角的最值或范围 16 【考试题型3】已知线线角求参数 20 考点清单03直线与平面所成角 21 【考试题型1】直线与平面所成角（定值） 21 【考试题型2】直线与平面所成角（最值或范围） 25 【考试题型3】直线与平面所成角（探索性问题） 31 考点清单04两个平面所成角 36 【考试题型1】两个平面所成角（定值） 36 【考试题型2】两个平面所成角（最值或范围） 42 【考试题型3】两个平面所成角（探索性问题） 49 一、思维导图 二、知识回归 知识点01：点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点. 过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量， 且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 知识点02：用向量运算求两条直线所成角 已知，为两异面直线，，与，分别是，上的任意两点， ，为所成的角为，则 ①②. 知识点03：用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ①②.（注意此公式中最后的形式是：） 知识点04：用向量运算求平面与平面的夹角 若于，于，平面交于，则为二面角的平面角，.若分别为面，的法向量 ①②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 三、典型例题讲与练 01点到平面距离 【考试题型1】利用空间向量求点面距 【解题方法】 【典例1】（2023上·广东佛山·高二华南师大附中南海实验高中校考期中）如图，正方体的棱长为2，E为线段的中点，F为线段的中点，则直线到平面的距离为 .    【典例2】（2023上·四川绵阳·高二绵阳中学校考阶段练习）已知正三棱柱的所有棱长均为2，为线段上的动点，则到平面的最大距离为 . 【专训1-1】（2023上·广东深圳·高二校考阶段练习）在三棱锥中，底面，则点到平面的距离是 . 【专训1-2】（2023上·安徽·高二合肥一中校联考阶段练习）如图，四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，是等边三角形，M，N分别为AB和PC的中点，则平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值为 .    【考试题型2】利用等体积法求点面距 【解题方法】等体积法 【典例1】（2023上·上海·高二校考期中）已知三棱锥，且两两垂直，则点到平面的距离为 . 【典例2】（2023上·山西大同·高二统考期中）在长方体中，分别是棱上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的取值范围是 . 【专训1-1】（2023上·山东·高二校联考期中）将边长为2的等边沿边中线折起得到三棱锥，当所得三棱锥体积最大时，点到平面的距离为 ． 【专训1-2】（2023上·重庆九龙坡·高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，点是的中点，则点到平面的距离是 ．    02异面直线所成角 【考试题型1】异面直线所成角 【解题方法】向量法 【典例1】（2023上·上海·高二校考期中）正四棱锥的侧面是等边三角形，为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为 . 【典例2】（2023上·四川成都·高二校考阶段练习）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是.则与所成角的余弦值为 .    【专训1-1】（2023上·上海·高二校考期中）如图，在正四面体中，，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【专训1-2】（2023上·浙江金华·高二校考阶段练习）如图，已知三棱锥中，，和都是边长为2的正三角形，点E，F分别是AB，CD的中点．那么异面直线AF和CE所成角的余弦值等于 .    【考试题型2】异面直线所成角的最值或范围 【解题方法】向量法 【典例1】（2023上·河北张家口·高二校联考阶段练习）如图，在正方体中，点在线段上运动，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为 .       【典例2】（2023上·吉林·高二东北师大附中校考阶段练习）若三棱锥中，，，，点E为BC中点，点F在棱AD上（包括端点），则异面直线AE与CF所成的角的余弦值的取值范围是 ．   【专训1-1】（202