专题01 图形的相似（知识串讲+9大考点）-2023-2024学年九年级数学下册重难考点一遍过（人教版）

专题01 图形的相似 考点类型 知识串讲 （一）比例的性质 ①基本性质：⇔ad＝bc；（b、d≠0） ②合比性质：⇔＝；（b、d≠0） ③等比性质：＝…＝＝k（b＋d＋…＋n≠0）⇔＝k．（b、d、…、n≠0） （二）比例线段 在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． （三）平行线平分线段成比例 （1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则. （2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例. 即如图所示，若AB∥CD，则. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似． 如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC. （四）黄金分割 黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝=≈0．618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比． 考点训练 考点1：比例的性质 典例1：（2023秋·山西太原·九年级山西实验中学校考阶段练习）已知，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2023秋·上海长宁·九年级上海市第三女子初级中学校考阶段练习）如果，那么（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·浙江·模拟预测）用“▲”，“●”，“◆”分别表示三种物体的重量，若，则▲，●，◆这三种物体的重量比为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2023秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习）若，则（    ） A． B．2 C．5 D． 考点2：线段的比 典例2：（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，以为斜边作等腰直角三角形，再以为圆心，长为半径作弧，交线段于点，那么等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2023秋·湖南怀化·九年级统考期末）在比例尺为的图纸上长度为的线段表示实际长为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2023春·九年级单元测试）生活中到处可见黄金分割的美，如上图,在设计人体雕像时：使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为（    ）． A．1.52米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.24米 【变式3】（2022秋·辽宁锦州·九年级统考期中）如果点C是线段AB延长线上的—点，且，那么等于（    ） A．5：2 B．1：2 C．3：2 D．2：3 考点3：成比例线段 典例3：（2023秋·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）下列各组线段中，成比例的是（ ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式1】（2023秋·广东佛山·九年级校考阶段练习）已知，，，成比例线段，其中，，，则（    ） A．8cm B．9.5cm C．4cm D．4.5cm 【变式2】（2023秋·陕西西安·九年级交大附中分校校考阶段练习）已知四条线段a，b，c，d是成比例线段，其中，则线段a的长度为（    ） A．8cm B．2cm C．4cm D．1cm 【变式3】（2022秋·河北沧州·九年级统考期中）已知四条线段a，b，c，d满足，则下列等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 考点4：黄金分割 典例4：（2023秋·河北石家庄·九年级校考阶段练习）我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为.如图，在中，，，平分交于点D，若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，点C为线段的黄金分割点，，若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（2023秋·九年级课前预习）神奇的自然界处处蕴含着数学知识，动物学家发现蝴蝶身长与双翅张开后的长度之比约为． 这个数据体现了数学中的（   ）    A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．黄金分割 【变式3】（2023秋·河北邢台·九年级邢台市第七中学校联考阶段练习）公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，称为最早的有关黄金分割的论著．“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图，点C把线段 分成两份，如果，那么称点C是线段AB的黄金分割点．冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚，健康，可爱，活泼，他泛着可爱笑容的嘴巴位于黄金分割点处，若玩偶身高，则玩偶嘴巴离地高度是___m．    A． B． C． D． 考点5：“#”字模型 典例5：（2023·广东佛山·佛山市华英学校校考三模）如图，，点B，E分别在上，，则长为（        ）