(练习)课时分层作业19 椭圆的标准方程-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教B版2019)

课时分层作业(十九)　椭圆的标准方程 一、选择题 1．若曲线＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是(　　) A．k＞1　　　 B．k＜－1 C．－1＜k＜1 D．－1＜k＜0或0＜k＜1 D　[因为曲线＋＝1表示椭圆， 所以解得－1＜k＜1，且k≠0.] 2．已知点M是平面α内的动点，F1，F2是平面α内的两个定点，则“点M到点F1，F2的距离之和为定值”是“点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 C　[若点M到点F1，F2的距离之和恰好为F1，F2两点之间的距离，则轨迹不是椭圆，所以前者不能推出后者．根据椭圆的定义，椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数2a，所以后者能推出前者，故前者是后者的必要不充分条件，故选C．] 3．已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，则|PF1|·|PF2|的最大值是(　　) A．8 B．2 C．10　　　 D．4 A　[由椭圆的定义得，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4， 所以|PF1|·|PF2|≤＝8(当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号)．] 4．(多选题)设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹可能是(　　) A．线段 B．圆 C．椭圆 D．不存在 AC　[当a>0时，由均值不等式的结论有：a＋≥2＝6，当且仅当a＝3时等号成立． 当a＋＝6时，点P的轨迹表示线段F1F2， 当a＋>6＝|F1F2|时，点P的轨迹表示以F1，F2为焦点的椭圆．] 5．(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A．13 B．12　　　 C．9　　　 D．6 C　[由题知，a2＝9，b2＝4，则|MF1|＋|MF2|＝2a＝6， 所以|MF1|·|MF2|≤＝9(当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，等号成立)．] 二、填空题 6．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________． ＋＝1　[由题意可得所以 故b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为＋＝1．] 7．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(－，－)，则椭圆的方程为________． ＋＝1　[设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)． 因为椭圆经过点P1，P2， 所以点P1，P2的坐标适合椭圆方程． 则解得 所以所求椭圆方程为＋＝1．] 8．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________. 　[由题意知，A，C为椭圆的两焦点， 则|AC|＝8，|AB|＋|BC|＝10． 所以＝＝＝.] 三、解答题 9．求与椭圆＋＝1有相同焦点，且过点P(3，)的椭圆的标准方程． [解]　法一：因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且c2＝25－9＝16．设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． 因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16．① 又点P(3，)在所求椭圆上，所以＋＝1，即＋＝1．② 联立①②可解得a2＝36，b2＝20，故所求椭圆的标准方程为＋＝1． 法二：由题意可设所求椭圆的标准方程为＋＝1． 又椭圆过点P(3，)，则＋＝1，解得λ＝11或λ＝－21． 因为所以λ＞－9，故λ＝－21不符合题意，舍去． 故所求椭圆的标准方程为＋＝1． 10．一动圆过定点A(2,0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程． [解]　将定圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62， 所以圆心坐标为B(－2,0)，半径为6，如图． 由于动圆M与已知圆B相内切，设切点为C． 所以已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即|BC|－|MC|＝|BM|， 而|BC|＝6，|CM|＝|AM|， 所以|BM|＋|AM|＝6． 根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(－2,0)和点A(2,0)为焦点的椭圆，且2a＝6． 所以a＝3，c＝2，b＝＝， 所以所求圆心M的轨迹方程为＋＝1． 1．(多选题)已知P是椭圆E：＋＝1上一点，F1，F2分别为其左、右焦点，且△F1PF2的面积为3，则下列说法正确的是(　　) A．点P的纵坐标为3 B．∠F1PF2＞ C．△F1PF2的周长为4(＋1) D．△F1PF2的内切圆半径为(－1) CD　[因为c＝＝＝2，所以|F1F2|＝2c＝4．又△F1PF2的面积为3，△F1PF2的边F1F2上的高为，即点P的纵坐标为或－，故A错误．由焦点