(讲义)5.1.4 用样本估计总体-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教B版2019)

5.1.4　用样本估计总体 1．会求样本的平均数、标准差、方差．(重点) 2．理解用样本的数字特征估计总体的数字特征的方法．(重点) 3．会应用相关知识解决实际统计问题．(难点) 1．通过样本数字特征的学习，体现了数据分析的核心素养． 2．借助用样本的数字特征解决实际问题，提升数学运算的核心素养． 中国体育彩票的种类有很多．体育彩票市场曾创造了无数的神话，相当一部分中奖者在谈及自己的中奖经历时都表示他们能够中奖，是经过长期研究体育彩票的走势及中奖号码分布特点后(即作出频率分布表)，精心选号的结果．所以说彩民之所以能中大奖是因为他们“推测”的方法是科学的，“推测”的结果是比较可靠的．那么他们是如何“推测”的呢？ 问题：(1)你认为应该从哪些方面对彩票进行“推测”？ (2)他们是如何处理中奖数据的？ [提示]　(1)他们把中奖号码绘制成图、表等进行观察，分析中奖号码的分布、走势，以此去推测、估计下次的中奖号码． 其主要是利用中奖号码的分布去估计下期中奖号码的分布． (2)绘成图、表进行分析． 知识点1　用样本的数字特征估计总体的数字特征 1．在容许一定误差存在的情况下，可以用样本的数字特征去估计总体的数字特征，这样就能节省人力和物力等． (1)估计一般是有误差的．例如，总体平均数可以大于样本均值，也可以等于样本均值，还可以小于样本均值．但是，大数定律可以保证，当样本的容量越来越大时，估计的误差将越来越小． (2)一般来说，在估计总体的数字特征时，只需直接算出样本对应的数字特征即可． 2．样本是用分层抽样得到的，由每一层的数字特征估计总体的数字特征．以分两层抽样的情况为例． 条 件 假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为t2 结 论 如果记样本均值为，样本方差为b2，则＝，b2＝ 1．下列说法不正确的是(　　) A．方差是标准差的平方 B．标准差的大小不会超过极差 C．若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0 D．标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散 D　[标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数的周围越分散．] 2．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均环数 8.6 8.9 8.9 8.2 方差s2 3.5 3.5 2.1 5.6 从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是(　　) A．甲　　B．乙　　C．丙　　D．丁 C　[由表可知，乙、丙的成绩最好，平均环数都为8.9，但乙的方差大，说明乙的波动性大，所以丙为最佳人选．] 知识点2　用样本的分布估计总体的分布 (1)如果样本的容量恰当，抽样方法又合理，样本的分布与总体分布会差不多．特别地，每一组的频率与总体对应的频率相差不会太大． (2)同数字特征的估计一样，分布的估计一般也有误差．如果总体在每一个分组的频率记为π1，π2，…，πn，样本在每一组对应的频率记为p1，p2，…，pn，一般来说，(πi－pi)2＝[(π1－p1)2＋(π2－p2)2＋…＋(πn－pn)2]不等于零．同样，大数定律可以保证，当样本的容量越来越大时，上式很小的可能性将越来越大． 3．已知样本10，8，10，8，6，13，11，10，12，7，9，8，12，9，11，12，9， 10，11，10，那么频率为0.2的范围是(　　) A．5.5～7.5 B．7.5～9.5 C．9.5～11.5 D．11.5～13.5 D　[样本容量为20，频率为0.2的数有4个，而在11.5～13.5之间的数有13，12，12，12，共4个，其他的都不正确．] 4．为了解中学300名男生的身高情况，随机抽取若干名男生进行身高测量，将所得数据整理后，画出频数分布直方图(如图)．估计该校男生的身高在169.5 cm～174.5 cm之间的人数有(　　) A．12　　B．48　　C．72　　D．96 C　[根据图形，身高在169.5 cm～174.5 cm之间的人数的百分比为：×100%＝24%， ∴该校男生的身高在169.5 cm～174.5 cm之间的人数有300×24%＝72(人)．故选C．] 类型1　用样本对总体进行估计 【例1】　某公司员工年收入的频率分布直方图如下： (1)估计该公司员工年收入的众数、中位数、平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)； (2)假设你到人才市场找工作，该公司招聘人员告诉你，“我们公司员工的年平均收入超过13万元”，你认为招聘人员对该公司员