(讲义)4.5 增长速度的比较-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教B版2019)

4.5　增长速度的比较 1．了解和体会函数模型在实际生活中的广泛应用． 2．理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义，通过对三种函数模型性质的比较，能够建立恰当的数学模型解决实际问题．(难点) 1．通过三种不同增长的函数模型差异的学习，培养逻辑推理的核心素养． 2．借助函数模型的应用，提升数学建模核心素养． 杰米是百万富翁，一天，他碰到一件奇怪的事，一个叫韦伯的人对他说：“我想和你订个合同，我将在整整一个月中(这个月有31天)，每天给你10万元，而你第一天只需给我1分钱，以后你每天给我的钱是前一天的两倍．”杰米说：“真的？你说话算数？” 合同开始生效了，杰米欣喜若狂．第一天杰米支出1分钱，收入10万元．第二天杰米支出2分钱，收入10万元，到了第10天，杰米共得100万元，而总共才付出10元2角3分．到了第20天，杰米共得200万元，而韦伯才得1万多元．杰米想：要是合同订二、三个月该多好！可从21天起，情况发生了转变． 第22天杰米支出2万多，收入10万，到第28天，杰米支出134万多，收入10万．结果，杰米在一个月(31天)内得到310万元的同时，共付给韦伯2 100多万元！杰米破产了． 问题：(1)写出杰米总共收到韦伯的钱y(单位：分)与天数x的函数关系式． (2)写出杰米每天支出y(单位：分)与天数x的函数关系式． [提示]　(1)y＝107x(x∈N*)． (2)y＝2x－1(x∈N*)． 知识点　函数值增长速度的比较 1．用平均变化率比较函数值变化的快慢 (1)定义：函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率为＝． (2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)理解：自变量每增加1个单位，函数值平均将增加个单位． (4)应用：比较函数值变化的快慢． 2．两种重要的函数增长 (1)指数增长； ①性质：当a＞1时，指数函数f(x)＝ax，当自变量每增加1个单位时，随着自变量的增大，f(x)＝ax的函数值增长的越来越快． ②定义：类似指数函数的增长称为指数增长(或指数级增长、爆炸式增长)． (2)线性增长：类似一次函数的增长称为线性增长(或直线增长)． 1．下列说法正确的有________(填序号)． ①若f(x)＝2x＋1，自变量每增加1个单位，函数值将增加1个单位； ②增长速度是不为0的常数的函数模型是线性增长模型； ③指数函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)的增长速度一定比线性增长速度大． ②　[①自变量每增加1个单位，函数值将增加2个单位． ②线性增长的增长速度是不变的． ③当a＞1时，指数增长速度比线性增长速度大．] 2．下列函数中，随x的增大而增大且速度最快的是________(填序号)． ①y＝ex；②y＝ln x；③y＝7x；④y＝e－x． [答案]　① 类型1　比较函数值增加的快慢 【例1】　(对接教材)已知函数y＝4x，分别计算函数在区间[1,2]与[3,4]上的平均变化率，并说明，当自变量每增加1个单位时，函数值变化的规律． [解]　因为＝＝，所以y＝4x在区间[1,2]上的平均变化率为＝12，在区间[3,4]上的平均变化率为＝192，所以当自变量每增加1个单位时，区间的左端点值越大，函数值增加越快． 1．计算函数在不同区间上的平均变化率，利用平均变化率的大小比较函数值增加的快慢． 2．平均变化率的大小也代表了区间的端点处的曲线上两点连线斜率的大小，通过直线可以直观观察函数值的变化对曲线变化趋势的影响． [跟进训练] 1．已知函数y＝x2－2x－3． (1)分别计算函数在区间[1,2] 与[3,4]上的平均变化率，分析当自变量每增加1个单位时，函数值变化的规律； (2)记A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))，D(4，f(4))，判定直线AB与直线CD斜率的相对大小． [解]　(1)＝＝x2＋x1－2，所以在区间[1,2]上的平均变化率为1，在区间[3,4]上的平均变化率为5，所以当自变量每增加1个单位时，区间的左端点值越大，函数值增加越快． (2)直线AB的斜率为1，直线CD的斜率为5，直线AB的斜率小于直线CD的斜率． 类型2　比较不同函数平均变化率的大小 【例2】　已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，h(x)＝log3x，比较这三个函数在区间[a，a＋1](a＞1)上的平均变化率的大小． [解]　因为＝＝2×3a， ＝＝2， ＝＝log3， 又因为a＞1，所以2×3a＞2×31＝6， log3＜log3＝log32＜log33＝1＜6， 因此在区间[a，a＋1]上，f(x)的平均变化率最大，h(x)的平均变化率最小． 不同函数平均变化率大小的比较方法 计算不同的函数在同一个区间上的平均变化率；利用指