(讲义)4.2.1 对数运算-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教B版2019)

4.2　对数与对数函数 4.2.1　对数运算 1．理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化．(重点) 2．理解对数的底数和真数的取值范围．(易混点) 3．掌握对数的基本性质及对数恒等式．(难点) 1．通过对数定义及相关概念的学习，培养数学抽象素养． 2．通过对数性质的学习，培养数学运算核心素养． 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个,…． 问题：依次类推，那么1个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是多少？分裂多少次得到细胞个数为8个，256个呢？如果已知细胞分裂后的个数N，如何求分裂次数呢？ [提示]　2x个，3次，8次；由2x＝N可知，当N已知时，x的值即为分裂次数． 知识点1　对数的定义及相关概念 1．对数的概念 在表达式ab＝N(a＞0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数． 1．在对数式b＝logaN中，为何规定a>0且a≠1? [提示]　在对数式b＝logaN中，规定a>0且a≠1的原因如下：(1)若a<0，则N为某些数值时，b不存在，如(－2)b＝3没有实数解，所以log(－2)3不存在．因此，规定a不能小于0． (2)若a＝0，则当N≠0时，logaN不存在；当N＝0时，loga0有无数个值，不能确定．因此，规定a≠0． (3)若a＝1，且N不为1，则b不存在，如log12不存在；而当a＝1，N＝1时，b可以为任意实数，不能确定．因此，规定a≠1． 2．对数恒等式a＝N． 指数表达式ab＝N与对数表达式b＝logaN实际上表示的是同一数量关系，如果把对数表达式中的b代入指数表达式，则可得a＝N；类似地，如果把指数表达式中的N代入对数表达式，则有logaab＝b． 3．常用对数 以10为底的对数称为常用对数，并把log10N记为lg N． 4．自然对数 在科学技术中常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln N． 2．如何准确理解指数式与对数式的关系？ [提示]　(1)指数式和对数式的关系如图所示： (2)指数式和对数式各部分的名称： 式子 名称 a b N 指数式 ab＝N 底数 指数 幂 对数式 logaN＝b 底数 对数 真数 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4． (　　) (2)对数式log32与log23的意义一样． (　　) (3)因为1a＝1，所以log11＝a． (　　) (4)log(－2)(－2)＝1． (　　) [提示]　(1)×．因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(1)错； (2)×．log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以(2)错； (3)×．因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(3)错； (4)×．因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，真数应大于0，所以(4)错． [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2.2＝________． 3　[由对数恒等式得，2＝3．] 知识点2　对数的性质 性质1 负数和零没有对数 性质2 1的对数是0，即loga1＝0(a＞0且a≠1) 性质3 底数的对数是1，即logaa＝1(a＞0且a≠1) 3．若log3(log2x)＝0，则x＝________． 　[∵log3(log2x)＝0，∴log2x＝30＝1，∴x＝2，即x＝．] 类型1　对数的概念 【例1】　(1)对数式lg(2x－1)中实数x的取值范围是________． (2)对数式log(x－2)(x＋2)中实数x的取值范围是____________． [思路探究]　根据对数式中底数大于0且不等于1，真数大于0求解． (1)　(2)(2,3)∪(3，＋∞)　[(1)由题意可知对数式lg(2x－1)中的真数大于0，即2x－1>0，解得x>，所以x的取值范围是． (2)由题意可得解得x>2，且x≠3，所以实数x的取值范围是(2,3)∪(3，＋∞)．] 在对数式中，对数的底数与真数有什么要求？ [提示]　根据对数的概念，对数式的底数大于0且不等于1，真数大于0． [跟进训练] 1．对数式log(2x－3)(x－1)中实数x的取值范围是______________． ∪(2，＋∞)　[由题意可得解得x>，且x≠2，所以实数x的取值范围是∪(2，＋∞)．] 类型2　指数式与对数式的互化 【例2】　(1)将下列指数式与对数式互化： ①log216＝4；②logx＝6；③43＝64；④3－2＝；⑤lg 1 00