(讲义)2.2.2 不等式的解集-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(人教B版2019)

2.2.2　不等式的解集 1.了解不等式(组)解集的概念，会求简单的一元一次不等式(组)的解集. 2.了解含绝对值不等式的几何意义，能借助数轴解含有绝对值的不等式．(重点、难点) 3.掌握数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式．(重点) 1.通过求一元一次不等式(组)的解集，培养数学运算核心素养. 2.借助绝对值不等式的解法，提升数学抽象、数学运算核心素养. 3.通过数轴上两点间距离公式及中点坐标公式的学习，培养直观想象核心素养. 如图为某三岔路口交通环道的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A，B，C的机动车辆如图所示，图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段，，的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出车辆数相等)． 问题　(1)你能用x3，x1，x2分别表示出x1，x2，x3吗？ (2)你能判断出x1，x2，x3的大小吗？ 知识点一　不等式的解集与不等式组的解集 1．不等式的解集：不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集． 2．不等式组的解集：对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集． 1.解不等式的理论依据是什么？ [提示]　不等式的性质． 1.(1)不等式2x－＞0的解集为________． (2)不等式组的解集为________． (1)　(2)　[(1)由2x－＞0解得x＞，所以不等式2x－＞0的解集为. (2)由－x＋2＞0解得x＜2，由2x＋1＞0解得x＞－.不等式组的解集为它们的交集，故－＜x＜2，即解集为] 知识点二　绝对值不等式 1．定义：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式． 2．含绝对值不等式的解法 (1)|x|＝ (2)当m＞0时，|x|＞m的解集为(－∞，－m)∪(m，＋∞)，|x|≤m的解集为[－m，m]． 2.若m＜0，|x|≤m的解集是什么？ [提示]　∅ 2.(1)不等式|x|＞2的解集为________． (2)不等式|x－1|≤2的解集为________． (1)(－∞，－2)∪(2，＋∞)　(2)[－1,3]　[(1)由|x|＞2，解得x＜－2或x＞2. 所以不等式的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)． (2)由|x－1|≤2得－2≤x－1≤2，解得－1≤x≤3. 所以不等式的解集为[－1,3]．] 知识点三　数轴上的坐标与距离 1．两点间的距离公式 一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB＝|a－b|，这就是数轴上两点之间的距离公式． 2．中点坐标公式 若线段AB的中点M对应的数为x，则x＝就是数轴上的中点坐标公式． 3.若A，B两点在数轴上的坐标分别为A(2)，B(－4)，则AB＝__________，线段AB的中点M的坐标为________． 6　－1　[AB＝|2－(－4)|＝6； 线段AB的中点M的坐标为＝－1.] 类型1　不等式组的解法 【例1】　(对接教材)解下列不等式组： (1) (2) [解]　(1)解不等式①，得x＜－6，解不等式②，得x≥2，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 由图可知，解集没有公共部分，不等式组无解，即不等式组的解集为∅. (2)解不等式①，得x＞－，解不等式②，得x≤，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 由图可知不等式组的解集为. 不等式组的求解步骤是怎样的？ [提示]　(1)求出不等式组中每个不等式的解集． (2)借助数轴求出各解集的公共部分(交集)． (3)写出不等式组的解集． [跟进训练] 1．已知关于x的不等式组的解集为(1,3)，则a的值为________． 4　[由2x＋1＞3，得x＞1，由a－x＞1，得x＜a－1. 又∵不等式组的解集为(1,3)，∴a－1＝3，即a＝4.] 2．解不等式1≤＜2x＋. [解]　原不等式组可化为下面的不等式组 解不等式①，得x≤1， 解不等式②，得x＞， 所以不等式组的解集为. 类型2　含绝对值的不等式的解法 1．若|x|＝|a|，是否一定有x＝a? [提示]　不一定，x＝a或x＝－a. 2．|x|的几何意义是什么？ [提示]　|x|表示数轴上坐标为x的点到原点的距离， 即|x|＝ 角度1　|ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c(c＞0)型的不等式的解法 【例2】　(对接教材)解下列不等式： (1)|5x－2|≥8； (2)2≤|x－2|≤4. [解]　(1)|5x－2|≥8⇔5x－2≥8或5x－2≤－8⇔x≥2或x≤－， ∴原不等式的解集为. (2)原不等式等价于 由①得x－2≤－2或x－2≥2， ∴x≤0或x≥4. 由②得－4≤x－2≤4， ∴－2≤x≤6. ∴原不等式的解集为{x|－2≤x≤0或4≤x≤6}． |ax＋b|≥c和|ax＋b