(讲义)2.1.1 等式的性质与方程的解集-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(人教B版2019)

2.1　等式 2.1.1　等式的性质与方程的解集 1.能够从具体实例中探索等式的性质．(重点) 2.理解恒等式的概念，会进行恒等变形．(难点) 3.会求方程的解集．(重点) 1.借助等式的性质，培养逻辑推理的素养. 2.通过求方程的解集，提升数据分析、数学运算的核心素养. 有只狡猾的狐狸平时总喜欢戏弄其他动物，有一天它遇见老虎， 狐狸说：“我发现了2和5可以相等，我这里有一个方程5x－2＝2x－2. 等式两边同时加上2，得5x－2＋2＝2x－2＋2，即5x＝2x，① 等式两边同时除以x，得5＝2， ②” 老虎瞪大了眼睛，一脸的疑惑．你认为狐狸的说法正确吗？ 知识点一　等式的性质 性质(1)：等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立． 用字母表示为：如果a＝b，则对任意的c，都有a＋c＝b＋c. 性质(2)：等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立． 用字母表示为：如果a＝b，则对任意的不为零的c，都有ac＝bc. 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若＝，则x＝y. (　　) (2)若x＝y，则＝. (　　) (3)若x＋a＝y－a，则x＝y. (　　) (4)若x＝y，则ax＝by. (　　) (5)若x－m＝y－m，则x＝y. (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ 知识点二　恒等式 1．恒等式的含义 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等． [拓展]　等式的分类： (1)恒等式，如2＋3＝5，a＋a＝2a等； (2)条件等式：等号两边中的字母只有取某些值时才能使等号两边的值相等的等式，如2x＝3，x(x－1)＝0等； (3)矛盾等式：在形式上用等号连接但实质上无法成立的等式，如1＋2＝1，a＋1＝a＋2等． 2．常见的代数恒等式 (1)(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a－b)2＝a2－2ab＋b2. (2)a2－b2＝(a＋b)(a－b)． (3)a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)， a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)． 3．十字相乘法 (1)给定式子x2＋Cx＋D，如果能找到a和b，使得D＝ab且C＝a＋b，则x2＋Cx＋D＝(x＋a)(x＋b)．为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用图来表示：，其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”． 代数式x2＋Cx＋D能进行因式分解的条件是C2－4D≥0. (2)用“十字相乘法”分解因式： ①直接利用公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)进行分解； ②利用公式acx2＋(ad＋bc)x＋bd＝(ax＋b)(cx＋d)进行分解． 1.十字相乘法分解因式的关键是什么？ [提示]　把二次项和常数项分解，交叉相乘，得到两个因数，再把两个因式相加，看它们的和是不是正好等于一次项系数． 2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)计算(2a＋5)(2a－5)＝2a2－25. (　　) (2)因式分解过程为：x2－3xy－4y2＝(x＋y)(x－4)． (　　) (3)用因式分解法解方程时部分过程为： (x＋2)(x－3)＝6，所以x＋2＝3或x－3＝2. (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)× [提示]　(1)(2a＋5)(2a－5)＝(2a)2－25＝4a2－25. (2)x2－3xy－4y2＝(x＋y)(x－4y)． (3)若(x＋2)(x－3)＝0，可化为x＋2＝0或x－3＝0. 3.(多选题)下列等式中，是恒等式的是(　　) A．(x－2)(x＋2)＝x2－4 B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 C．(－3＋m)(3＋m)＝m2－9 D．16x2－9＝24x ABC　[A中，(x－2)(x＋2)＝x2－4，使用平方差公式化简，是恒等式；B中，(a－b)2＝a2－2ab＋b2，使用完全平方公式化简，是恒等式；C中，(－3＋m)(3＋m)＝(m－3)·(m＋3)＝m2－9，平方差公式化简，是恒等式；D中，16x2－9＝24x是方程，不是恒等式．] 知识点三　方程的解集 1．方程(x－x1)(x－x2)＝0，当x1≠x2时解集为{x1，x2}，当x1＝x2时解集为{x1}． 2．方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值．求方程解的过程叫做解方程．把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集． 2.把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解(根)吗？ [提示]　把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程的增根． 4.已知三角形两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2－17x＋6