(讲义)1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(人教B版2019)

1.2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定 1.能正确写出一个命题的否定，并能够判断其真假. 2.理解含有一个量词的命题的否定的意义，会对含有一个量词的命题进行否定．(重点) 3.掌握全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．(重点、难点) 1.通过对命题的否定的认识，提升数学抽象素养. 2.通过对含有一个量词的命题的否定的理解，提升逻辑推理的素养. “否定”是我们日常生活中经常使用的一个词. 2009年11月23日《人民日报》的《创新，从敢于否定开始》一文中有这样一段话：“培养一流创新人才，敢于否定的精神非常重要．一旦下定决心进行研究，首先就要敢于否定别人的成果，并想一想：前人的成果有哪些是不对的，有什么方面可以改善，有什么地方可以加强．” 结合上述这段话，谈谈你对“否定”一词的认识，并由此猜想“命题的否定”是什么意思． 知识点一　命题的否定 1．定义：一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“¬p”，读作“非p”或“p的否定”． 2．命题p与其否定¬p的真假关系 如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是一个假命题；反之亦然． 1.(1)圆周率π是无理数的否定是__________，它是________(选填“真”或“假”)命题． (2)∅是集合A的子集的否定是________________，它是________(选填“真”或“假”)命题． [答案]　(1)圆周率π不是无理数　假　(2)∅不是集合A的子集　假 知识点二　全称量词命题与存在量词命题的否定 1．存在量词命题的否定 存在量词命题p ¬p 结论 ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，¬p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 2．全称量词命题的否定 全称量词命题q ¬q 结论 ∀x∈M，q(x) ∃x∈M，¬q(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗？ [提示]　不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”． [拓展]　命题的否定与集合运算的关系 (1)已知全集为U，设命题p对应的集合为P，则命题的否定¬p对应的集合为∁UP＝{x|x∈U，且x∉P}，这样可以从集合的角度进一步认识命题的否定． (2)已知全集为U，若“p是真命题”对应“a∈P”，则“p是假命题”对应“a∈∁UP”；若“¬p是真命题”对应“a∈∁UP”，则“¬p是假命题”对应“a∈P”． 一般地，写一个命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定，下面把常用的正面叙述的词语及它的否定列举如下： 正面 词语 ＝ ＞(＜) 是 都是 任意 (所有) 存在 至多 有1个 至少 有1个 或 且 否定词语 ≠ ≤(≥) 不是 不都是 某个 不存在 至少 有2个 1个也 没有 且 或 2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)命题¬p的否定是p. (　　) (2)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，¬p(x)的真假性相反． (　　) (3)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)× [提示]　(1)命题p与¬p互为否定． (2)存在量词命题p与其否定¬p一真一假． (3)尽管存在量词命题的否定是全称量词命题，只是对“p(x)”进行否定，而将“存在量词”调整为“全称量词”，不能将其理解为“同时否定”． 3.命题“∃x∈R,2x≤0”的否定是________． ∀x∈R，2x＞0　[存在量词命题的否定是全称量词命题．] 4.已知命题p：∀x＞2，x－2＞0，则¬p是________． ∃x＞2，x－2≤0　[全称量词命题的否定为存在量词命题．] 类型1　命题的否定 【例1】　写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p：2,3都是8的约数； (2)p：实数的绝对值都大于0； (3)p：菱形的对角线垂直平分； (4)p：若xy＝0，则x＝0或y＝0. [解]　(1)¬p ：2,3不都是8的约数．真命题． (2)¬p：实数的绝对值不都大于零．真命题． (3)¬p：菱形的对角线不垂直或不平分．假命题． (4)¬p：若xy＝0，则x≠0且y≠0.假命题． 如何对一个命题进行否定？ [提示]　否定一个命题是对这个命题结论的否定，要灵活应用常见关键词对应的否定词．另外，命题和它的否定真假性相反，可运用此结论检查所写命题的否定是否正确． [跟进训练] 1．写出下列命题的否定形式，并判断其真假． (1)p：面积相等的三角形都是全等三角形； (2)p：若m2＋n2＝0，则实数m，n全为零； (3)p：实数a，b，c满足abc＝0