(课件)1.1.2 空间向量的数量积运算-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

第一章　空间向量与立体几何 1.1　空间向量及其运算 1.1.2　空间向量的数量积运算 1 学习 任务 1．掌握空间向量的夹角的概念．(数学抽象) 2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律．(逻辑推理、数学运算) 3．了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义．(数学抽象) 4．能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题．(直观想象、数学运算) 1.1.2　空间向量的数量积运算 课时分层作业 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 必备知识·情境导学探新知 01 1.1.2　空间向量的数量积运算 课时分层作业 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 3 回忆平面向量数量积的概念与性质，思考能否将它们从平面推广到空间中，如果能，尝试说出推广后的不同之处，如果不能，说明理由． 1.1.2　空间向量的数量积运算 课时分层作业 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 知识点1　空间向量的夹角 (1)夹角的定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作__________． 〈a，b〉 1.1.2　空间向量的数量积运算 课时分层作业 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 (2)夹角的范围 空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝__时，两向量同向共线；当θ＝__时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝时，两向量____，记作______． 提醒 因为向量是自由向量，空间中的任意两个向量都能平移到同一平面内，因此，空间中两向量的夹角的实质就是平面内两向量的夹角． 0 π 垂直 a⊥b 1.1.2　空间向量的数量积运算 课时分层作业 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 知识点2　空间向量的数量积 (1)定义 已知两个非零向量a，b，则_______________叫做a，b的数量积，记作a·b．即a·b＝_____________________． 规定：零向量与任意向量的数量积为__． (2)空间向量的数量积的运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R； ②a·b＝b·a(交换律)； ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． |a||b|cos〈a，b〉 |a||b|cos 〈a，b〉 0 1.1.2　空间向量的数量积运算 课时分层作业 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 (3)空间两向量的数量积的性质 向量数量积的性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b⇔__________ 共线 同向：则a·b＝|a|·|b| 反向：则a·b＝－|a|·|b| 模 a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝__， |a|＝___________，|a·b|≤|a|·|b| 夹角 θ为a，b的夹角，则cos θ＝________ a·b＝0 |a|2 1.1.2　空间向量的数量积运算 课时分层作业 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 思考 对于向量a，b，c，(a·b)·c＝a·(b·c)成立吗？为什么？ [提示]　不成立．例如，任取三个不共面向量a，b，c，(a·b)·c是一个数与向量c作数乘，a·(b·c)是一个数与向量a作数乘，而a，c不在同一个方向上，所以(a·b)·c与a·(b·c)不可能相等． 1.1.2　空间向量的数量积运算 课时分层作业 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 知识点3　向量的投影 (1)向量a向向量b(直线l)的投影 如图1，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝_________________，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图2)． |a|cos 〈a，b〉 1.1.2　空间向量的数量积运算 课时分层作业 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 (2)向量a向平面β的投影 如图3，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与______所成的角． 提醒 空间向量a在b上的投影向量可以先将a平移到与 b共起点，再作投影向量． 平面β 1.1.2　空间向量的