(讲义)第1章 直线与方程 章末综合提升-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(苏教版2019)

类型1　直线的倾斜角与斜率 求直线的倾斜角与斜率的注意点 (1)求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围． (2)当直线的倾斜角α∈[0°，90°)时，随着α的增大，直线的斜率k为非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角α∈(90°，180°)时，随着α的增大，直线的斜率k为负值且逐渐变大． 【例1】　(1)已知直线l的倾斜角为α，并且0°≤α＜120°，直线l的斜率k的范围是(　　) A．－＜k≤0 B．k＞－ C．k≥0或k＜－ D．k≥0或k＜－ (2)已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2，5)，P3(3，1)是此直线上的三点，求x2，y1的值． (1)C　[通过画图(图略)可知k＜－或k≥0.故选C.] (2)[解]　由α＝45°，故直线l的斜率k＝tan 45°＝1， 又P1，P2，P3都在此直线上，故kP1P2＝kP2P3＝kl， 即＝＝1，解得x2＝7，y1＝0. 类型2　求直线的方程 求直线方程的方法 求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件是否具备时要另行讨论条件不满足的情况． 【例2】　已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0. 求：(1)AC所在的直线的方程； (2)点B的坐标． [解]　(1)因为AC⊥BH，所以设AC所在的直线的方程为2x＋y＋t＝0. 把A(5，1)代入直线方程2x＋y＋t＝0中，解得t＝－11. 所以AC所在的直线的方程为2x＋y－11＝0. (2)设B(x0，y0)，则AB的中点为. 联立得方程组 化简得解得 故B(－1，－3). 类型3　两直线的平行、垂直及距离问题 距离公式的运用 (1)距离问题包含两点间的距离、点到直线的距离、两平行直线间的距离． (2)牢记各类距离的公式并能直接应用，解决距离问题时，往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合． (3)这类问题是高考考查的热点，在高考中常以选择题、填空题出现，主要考查距离公式以及思维能力． 【例3】　已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值． (1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直； (2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等． [思路探究]　(1)把(－3，－1)代入l1方程，同时运用垂直条件A1A2＋B1B2＝0；(2)利用好平行条件及距离公式列方程． [解]　(1)∵l1⊥l2， ∴a(a－1)＋(－b)·1＝0. 即a2－a－b＝0.① 又点(－3，－1)在l1上， ∴－3a＋b＋4＝0.② 由①②解得a＝2，b＝2. (2)∵l1∥l2且l2的斜率为1－a， ∴l1的斜率也存在，＝1－a， 即b＝. 故l1和l2的方程可分别表示为 l1：(a－1)x＋y＋＝0， l2：(a－1)x＋y＋＝0. ∵原点到l1与l2的距离相等， ∴4＝，解得a＝2或a＝. 因此或 类型4　对称问题 　对称问题的求解策略 (1)点关于点的对称问题，是对称问题中最基础、最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解．熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是解决这类问题的关键． (2)点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于－1；②两点的中点在已知直线上． (3)直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于此点对称的问题，这里需要注意的是两对称直线是平行的．我们往往利用平行直线系去求解． 【例4】　光线通过点A(2, 3)，在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(1，1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程． 1．怎样求点关于点的对称点？ [提示]　设出所求点坐标，利用中点坐标公式求解． 2．怎样求点关于直线的对称点坐标？ [提示]　设出所求点坐标(x, y)，利用中点坐标公式建立关于x, y的第一个方程，再利用垂直关系建立x, y的第二个方程，然后通过联立方程解二元一次方程组求解． [解]　设点A(2，3)关于直线l的对称点为A′(x0，y0)，则 解之得，A′(－4，－3). 由于反射光线经过点A′(－4，－3)和B(1，1)， 所以反射光线所在直线的方程为 y－1＝(x－1)·，即4x－5y＋1＝0. 解方程组 得反射点P. 所以入射光线所在直线的方程为 y－3＝(x－2)·，即5x－4y＋2＝0. 综上，入射光线和反射光线所在直线的方程分别为5x－4y＋2＝0，4x－5y＋1＝0