(讲义)4.2.2 对数的运算性质-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(苏教版2019)

4.2.2　对数的运算性质 1．掌握对数的运算性质，并能运用运算性质进行对数的有关运算．(重点) 2．了解换底公式． 3．能用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数．(难点) 1．借助对数的运算性质化简、求值，培养数学运算素养． 2．通过学习换底公式，培养逻辑推理素养． 回顾指数性质：(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．那么对数有哪些性质？如loga(MN)＝？ 知识点1　对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 1．当M>0，N>0时，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN是否成立？ [提示]　不一定． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log2x2＝2log2x． (　　) (2)loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3)． (　　) (3)logaM·logaN＝loga(M＋N)． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 知识点2　对数的换底公式 若a>0且a≠1；c>0，c≠1，N>0，则有logaN＝． 2．换底公式中底数c是特定还是任意数？ [提示]　c是大于0且不等于1的任意数． 2．＝________． [答案]　2 类型1　对数运算性质的应用 【例1】　计算下列各式： (1)log5； (2)log2(32×42)； (3)log535－2log5＋log57－log5． [解]　(1)原式＝log5625＝log554＝． (2)原式＝log232＋log242＝5＋4＝9． (3)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－(log59－log55)＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2． 对数式化简与求值的原则和方法 1基本原则： 对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行. 2两种常用的方法： ①“收”，将同底的两对数的和差收成积商的对数； ②“拆”，将积商的对数拆成同底的两对数的和差. 1．计算下列各式的值： (1)lg－lg＋lg； (2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2； (3)． [解]　(1)原式＝－·lg 2＋ ＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5 ＝lg 2＋lg 5 ＝＝lg 10 ＝． (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5＋2 ＝2lg 10＋2 ＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3． (3)原式＝＝＝＝． 【例2】　化简： (1)log2(28×82)； (2)用lg 2和lg 3表示lg 24； (3)用loga x，loga y，loga z表示loga(xy2z)． [解]　(1)log2(28×82)＝log2[28×(23)2]＝log2(28＋3×2)＝log2 214＝14． (2)lg 24＝lg (3×8)＝lg 3＋lg 8＝lg 3＋3lg 2． (3)loga(xy2z)＝loga x＋loga y2＋loga z＝loga x＋2loga y－loga z． 1．这类问题一般有两种处理方法 一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值； 另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．要特别注意loga(MN)≠loga M·loga N，loga(M±N)≠loga M±loga N． 2．对数的运算性质的推广：logam bn＝loga b(a，b>0且a，b≠1，m≠0)． 2．化简： (1)log (45×82)； (2)log 27－log 9； (3)用lg x，lg y，lg z表示lg ． [解]　(1)log (45×82)＝log (210×26)＝log 216＝16log 2＝16×2＝32． (2)log 27－log 9＝log ＝log3＝－1． (3)lg ＝lg x2＋lg －lg ＝2lg x＋lg y－lg z． 类型2　换底公式及其应用 【例3】　(1)计算(log43＋log83)·log32； (2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645(用a、b表示)． [解]　(1)原式＝·log32＝