(讲义)3.3.2 第2课时 一元二次不等式的应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(苏教版2019)

第2课时　一元二次不等式的应用 1．掌握一元二次不等式的实际应用．(重点) 2．理解三个“二次”之间的关系． 3．会解一元二次不等式中的恒成立问题．(难点) 1．通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养． 2．借助一元二次不等式的应用，培养数学建模素养． 汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要依据． 在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6 m，乙车的刹车距离略超过10 m． 已知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速v km/h之间的关系，试判断甲、乙两车有无超速现象． 知识点1　分式不等式的解法 主导思想：化分式不等式为整式不等式 类型 同解不等式 ＞0(其中a，b，c，d为常数) 法一： 或 法二： (ax＋b)(cx＋d)＞0 ≤0 法一： 或 法二： ＞k (其中k为非零实数) 移项通分转化为上述两种形式 1．>0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？将>0变形为(x－3)(x＋2)>0，有什么好处？ [提示]　等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)>1的解集为x<1． (　　) (2)≥0的解集与(2x－3)(x＋1)≥0有相同的解集． (　　) (3)解不等式>2时可转化x＋2>2(2x＋1)求解． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 知识点2　与一元二次不等式相关的恒成立问题 (1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件 不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0 a＝0 b＝0，c>0 b＝0，c<0 a≠0 (2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法 设二次函数y＝ax2＋bx＋c 若ax2＋bx＋c≤k恒成立⇔y最大值≤k 若ax2＋bx＋c≥k恒成立⇔y最小值≥k 2．x－1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是什么？区间[2,3]与不等式x－1>0的解集有什么关系？ [提示]　x－1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是函数y＝x－1在区间[2,3]上的图象恒在x轴上方．区间[2,3]内的元素一定是不等式x－1>0的解，反之不一定成立，故区间[2,3]是不等式x－1>0的解集的子集． 2．若关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0恒成立，则实数k的取值范围为________． {k|－3<k≤1}　[当k＝1时，－1<0恒成立．当k≠1时，由题意知解得－3<k<1． 所以实数k的取值范围是{k|－3<k≤1}．] 知识点3　从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤 (1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系． (2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)． (3)解不等式(或求函数最值)． (4)回扣实际问题． 3．用一根长为100 m的绳子，围成一个一边长为x米，面积大于600 m2的矩形，则x的取值范围为________． (20,30)　[设围成的矩形一边的长为x m，则另一边的长为(50－x)m，且0<x<50． 由题意，得围成矩形的面积S＝x(50－x)>600， 即x2－50x＋600<0， 解得20<x<30． 所以，当矩形一边的长在(20,30)范围内取值时，能围成一个面积大于600 m2的矩形．] 类型1　分式不等式的解法 【例1】　解下列不等式： (1)<0； (2)≥1． [解]　(1)不等式<0可转化为(2x＋1)(x－3)<0，即－<x<3． ∴原不等式的解集为． (2)原不等式可化为－1≥0即≥0． 不等式等价于，解得≤x<3． ∴原不等式的解集为． 1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． 2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 1．解下列不等式： (1)≤0； (2)>1． [解]　(1)由≤0知， 解得x≥1或x<－， 即原不等式的解集为． (2)不等式>1可化为－1>0，即<0， ∴(6x－4)(4x－3)<0，∴<x<， ∴原不等式的解集为． 类型2　一元二次不等式的应用 【例2】　国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量