(讲义)3.3.2 第1课时 一元二次不等式及其解法-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(苏教版2019)

3.3.2　从函数观点看一元二次不等式 第1课时　一元二次不等式及其解法 1．掌握一元二次不等式的解法．(重点) 2．能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．(难点) 通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养． 2022年，冬季奥运会在中国举行，跳台滑雪是其中最具有观赏性的项目之一，一位跳台滑雪运动员在90 m级跳台滑雪时，想使自己的飞行距离超过68 m．他若以自身体重从起滑台起滑，经助滑道于台端飞起时的初速度最快为110 km/h．那么他能实现自己的目标吗？ 知识点1　一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式，叫作一元二次不等式． 1．不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？ [提示]　此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式． 知识点2　三个“二次”的关系 设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0． 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 方程ax2＋bx＋c＝0的根 有两个相异的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象 ax2＋bx＋c＞0的解集 (－∞，x1)∪(x2，＋∞) ∪ R ax2＋bx＋c＜0的解集 (x1，x2) ∅ ∅ 2．若一元二次不等式ax2＋x＋1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？ [提示]　结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x＋1>0的解集为R，则解得a>，所以a∈使不等式ax2＋x＋1>0的解集为R． 思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)mx2－5x<0是一元二次不等式． (　　) (2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解． (　　) (3)x＝1是一元二次不等式x2－2x＋1≥0的解． (　　) (4)x2－>0为一元二次不等式． (　　) [提示]　(1)×　当m＝0时，是一元一次不等式； 当m≠0时，它是一元二次不等式． (2)×　因为a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R． (3)√　因为x＝1能使不等式x2－2x＋1≥0成立．故该说法正确． (4)×　因为一元二次不等式是整式不等式，而不等式中含有，故该说法错误． [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 类型1　一元二次不等式的解法 【例1】　解下列不等式． (1)x2－5x>6； (2)4x2－4x＋1≤0； (3)－x2＋7x>6； (4)－2x2＋3x－2<0． [解]　(1)由x2－5x>6得x2－5x－6>0，方程x2－5x－6＝0的解为x1＝－1，x2＝6．根据y＝x2－5x－6的图象．可得原不等式的解集为{x|x>6或x<－1}． (2)方程4x2－4x＋1＝0有两个相同的解x1＝x2＝． 根据y＝4x2－4x＋1的图象可得原不等式的解集为． (3)不等式两边同乘以－1，得x2－7x＋6<0． 方程x2－7x＋6＝0的解为x1＝6，x2＝1． 根据y＝x2－7x＋6的图象，可得原不等式的解集为{x|1<x<6}． (4)不等式两边同乘以－1，得2x2－3x＋2>0，因为Δ<0， 所以方程2x2－3x＋2＝0无实数解． 根据y＝2x2－3x＋2的图象，可得原不等式的解集为R． 解不含参数的一元二次不等式的一般步 ,1化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正. 2判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式. 3求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. 4画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. 5写解集.根据图象写出不等式的解集. 1．解下列不等式． (1)x2－4x＋4>0； (2)－x2＋2x－3<0； (3)2x2＋7x＋3>0． [解]　(1)方程x2－4x＋4＝0有两个相同的解x1＝x2＝2， 根据y＝x2－4x＋4的图象，可得原不等式的解集为{x|x≠2}． (2)不等式两边同乘以－1，得x2－2x＋3>0， 方程x2－2x＋3＝0中Δ<0，所以方程x2－2x＋3＝0无解． 根据y＝x2－2x＋3的图象，可得原不等式的解集为R． (3)方程2x2＋7x＋3＝0的解x1＝－3，x2＝－，根据y＝2x2＋7x＋3的图象，可得原不等式的解集为． 类型2　含参数的一元二次不等式的解法 【例2】　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0． [思路点拨]　①对于二次项的系数a是否分a＝0，a<0，a>0三类进行讨论？②当a≠0时，是否还要比较两根的大小？ [解]　当a＝0时，原不等式可化为x>1． 当a≠0时，原不等式可化为(