(讲义)3.2.1 基本不等式的证明-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(苏教版2019)

3.2　基本不等式≤(a，b≥0) 3.2.1　基本不等式的证明 1．了解基本不等式的证明过程．(重点) 2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小． 3．能利用基本不等式求简单函数的最值．(难点) 1．通过不等式的证明，培养逻辑推理素养． 2．借助基本不等式求简单的最值问题，提升数学运算素养． 某商店在节前进行商品降价酬宾销售活动，拟分两次降价．甲方案是第一次打p折销售，第二次打q折销售，乙方案是第一次打q折销售，第二次打p折销售，丙方案是两次都打折销售．请问哪一种方案降价最多？ 知识点1　算术平均数、几何平均数与基本不等式 (1)算术平均数与几何平均数 对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数． (2)基本不等式 如果a，b是正数，那么≤(当且仅当a＝b时，等号成立)，我们把不等式≤(a，b≥0)称为基本不等式． 1．如何证明不等式≤(a，b≥0)? [提示]　因为a＋b－2＝()2＋()2－2·＝(－)2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立， 所以a＋b≥2， 所以≤， 当且仅当a＝b时，等号成立． 1．设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值为________，此时x＝________，y＝________． 400　20　20　[由≤知≤，所以xy≤400，当xy取最大值400时，x＝y＝20．] 知识点2　两个重要的不等式 若a，b∈R，则(1)ab≤，即a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立)； (2)ab≤(当且仅当a＝b时，等号成立)． 2．当a、b满足什么条件时，a2＋b2＝2ab？a2＋b2>2ab? [提示]　当a＝b时，a2＋b2＝2ab；a、b∈R且a≠b时a2＋b2>2ab． 2．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是________． a＝1　[当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即a＝1时“＝”成立．] 知识点3　应用基本不等式求最值 在运用基本不等式≤求最值时，要把握好三个要点“一正、二定、三相等”． 一正： a，b是正数． 二定：①和a＋b一定时，由≤变形得ab≤，即积ab有最大值； ②积ab一定时，由≤变形得a＋b≥2，即和a＋b有最小值2． 三相等：取等号的条件都是当且仅当a＝b时，等号成立． 3．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立． (　　) (2)若a>2，则a＋≥2＝2． (　　) (3)若a>0，b>0，则ab≤． (　　) [提示]　(1)任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，当a，b≥0时，不等式a＋b≥2成立． (2)根据基本不等式，才有不等式a＋≥2＝2成立，当且仅当a＝1时取等号． (3)因为≤，所以ab≤． [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 类型1　对基本不等式的理解 【例1】　给出下面三个推导过程： ①因为a，b为正实数，所以＋≥2＝2； ②因为a∈R，a≠0，所以＋a≥2＝4； ③因为x，y∈R，xy＜0，所以＋＝－≤－2＝－2． 其中正确的推导为(　　) A．①②　　　　　　 B．①③ C．②③ D．①②③ B　[①因为a，b为正实数，所以，为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确． ②因为a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件， 所以＋a≥2＝4是错误的． ③由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，、均变为正数，符合基本不等式的条件，故③正确．] 1．基本不等式≤ (a≥0，b≥0)反映了两个非负数的和与积之间的关系． 2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a，b都是非负数． (2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b． 1．下列不等式的推导过程正确的是________．(填序号) ①若x＞0，则x＋≥2＝2； ②若x＜0，则x＋＝－≤ －2＝－4； ③若a，b∈R，则＋≥2＝2． ①②　[③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．] 类型2　利用基本不等式比较大小 【例2】　已知m＝a＋(a>2)，n＝－＋5(a，b∈(0，＋∞))，试比较m、n的大小． [解]　m＝a＋＝(a－2)＋＋2， ∵a>2，∴a－2>0，>0， ∴m＝a－2＋＋2≥2＋2＝4， 当且仅当a－2＝时等号成立， 此时a＝3．∴m≥4． n＝－＋5≤－2＋5＝3， 当且仅当a＝b时等号成立．综上m>n． 1．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件． 2．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a≥0，b≥0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成