(讲义)第2章 4.2 简单幂函数的图象和性质-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(北师大版2019)

4.2　简单幂函数的图象和性质 1．了解幂函数的概念．(重点) 2．掌握y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象与性质．(重点) 3．掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数有关问题．(重点、难点) 1．借助幂函数的图象的学习，培养直观想象素养． 2．通过幂函数的性质的学习，培养逻辑推理素养． 1．幂函数的定义是什么？ 2．幂函数的解析式有什么特点？ 3．幂函数的图象有什么特点？ 4．幂函数的性质有哪些？ 知识点1　幂函数的概念 一般地，形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数． 1．如何判断一个函数是幂函数？ [提示]　(1)xα的系数为1；(2)x为自变量；(3)α为常数． 1．在函数y＝，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，幂函数的个数为________． 1　[函数y＝＝x－4为幂函数； 函数y＝3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数； 函数y＝x2＋2x不是y＝xα(α是常数)的形式，所以它不是幂函数； 函数y＝1与y＝x0＝1(x≠0)不相等，所以y＝1不是幂函数．] 2．已知f (x)＝(m－1)xm2＋2m是幂函数，则m＝________． 2　[∵函数f (x)＝(m－1)xm2＋2m是幂函数，∴m－1＝1，即m＝2．] 3．已知幂函数f (x)＝xα图象过点，则f (4)＝________． 　[∵幂函数f (x)＝xα的图象过点， ∴2α＝， ∴α＝－． 即f (x)＝x， ∴f (4)＝4＝．] 知识点2　幂函数的图象与性质 (1)五种常见幂函数的图象 (2)五类幂函数的性质 解析式 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x 图象 定义域 R R R {x|x≠0} [0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R {y|y≠0} [0，＋∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶函数 单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减 在[0，＋∞)上单调递增 定点 (1，1) 2．(1)通过5个幂函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？ (2)当α>0时，幂函数y＝xα的图象在第一象限内有什么共同特征？ [提示]　(1)第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象． (2)图象都是从左向右逐渐上升． 4．给出下列说法： ①幂函数图象均过点(1，1)； ②幂函数的图象均在两个象限内出现； ③幂函数在第四象限内可以有图象； ④任意两个幂函数的图象最多有两个交点． 其中说法正确的有________(填序号)． ①　[根据幂函数的图象特征可知①正确，②③④错误．] 5．在下列四个图形中，y＝x的图象大致是(　　) A　　　　B　　　　C　　　　D D　[函数y＝x的定义域为(0，＋∞)，是减函数．] 类型1　幂函数的概念 【例1】　在函数y＝，y＝，y＝2x2，y＝x2＋x中，幂函数的个数为(　　) A．1　　B．2 C．3　　D．4 B　[因为y＝＝x，y＝＝x－2，所以是幂函数； y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数； y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数．] 函数解析式中只有满足幂的系数为1，底数为自变量x，指数为常量这三个条件，才是幂函数.如：y＝3x2，y＝2x3都不是幂函数. [跟进训练] 1．已知y＝(m2＋2m－2)x＋2n－3是幂函数，求m，n的值． [解]　由题意得 解得 所以m＝－3或1，n＝． 类型2　幂函数的图象及应用 【例2】　若点(，2)在幂函数f (x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f (x)>g(x)；(2)f (x)＝g(x)；(3)f (x)<g(x)． [解]　设f (x)＝xα，则2＝()α，解得α＝2， 则f (x)＝x2． 同理可求得g(x)＝x－2． 在同一坐标系内作出函数f (x)＝x2和g(x)＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得： (1)当x>1或x<－1时，f (x)>g(x)； (2)当x＝1或x＝－1时，f (x)＝g(x)； (3)当－1<x<1且x≠0时，f (x)<g(x)． 随着α的变化，其图象也随着变化，讨论其图象的特点时，可分0<α<1，α>1和α<0三种情况讨论. [跟进训练] 2．当0<x<1时，函数f (x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝x－2的大小关系是________________． h(x)>g(x)>f (x)　[如图所示为函数f (x)，