(讲义)第2章 4.1 函数的奇偶性-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(北师大版2019)

§4　函数的奇偶性与简单的幂函数 4.1　函数的奇偶性 1．结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义．(重点) 2．掌握函数奇偶性的判断和证明方法．(重点) 3．会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．(难点) 1．借助函数奇偶性特征的学习，培养直观想象素养． 2．通过函数奇偶性的判断和证明，培养逻辑推理素养． 1．奇函数与偶函数的定义是什么？ 2．奇、偶函数的定义域有什么特点？ 3．奇、偶函数的图象有什么特征？ 4．函数的奇偶性与单调性有什么关系？ 1．奇函数 (1)定义：一般地，设函数f(x)的定义域是D，如果对任意的x∈D，有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么称函数f(x)为奇函数． (2)图象特征：图象关于原点对称，反之亦然． 2．偶函数 (1)定义：设函数f(x)的定义域是D，如果对任意的x∈D，有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么称函数f(x)为偶函数． (2)图象特征：图象关于y轴对称，所之亦然． 3．奇偶性 当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称f(x)具有奇偶性． (1)如果定义域内存在x0，满足f (－x0)＝f (x0)，函数f (x)是偶函数吗？ (2)函数的奇偶性定义中，对于定义域内任意的x，满足f (－x)＝f (x)或f (－x)＝－f (x)，那么奇、偶函数的定义域有什么特征？ [提示]　(1)不一定，必须对于定义域内的任意一个x都成立． (2)奇、偶函数的定义域关于原点对称． 1．下列函数是偶函数的是________(填序号)． ①y＝x；②y＝2x2－3；③y＝；④y＝x2，x∈[0，1]． [答案]　② 2．下列图象表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________(填序号)． ①　　　　②　　　　③　　　　④ ②④　①③　[①③关于y轴对称是偶函数，②④关于原点对称是奇函数．] 3．下列说法正确的是________(填序号)． ①偶函数的图象一定与y轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点； ③函数f (x)＝x2，x∈[－1，2]是偶函数； ④若函数f (x)是定义在R上的奇函数，则f (－x)＋f (x)＝0． [答案]　④ 类型1　判断函数的奇偶性 【例1】　判断下列函数的奇偶性： (1)f (x)＝2－|x|； (2)f (x)＝＋； (3)f (x)＝； (4)f (x)＝ [解]　(1)∵函数f (x)的定义域为R，关于原点对称，又f (－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f (x)， ∴f (x)为偶函数． (2)∵函数f (x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f (x)＝0，又∵f (－x)＝－f (x)，f (－x)＝f (x)， ∴f (x)既是奇函数又是偶函数． (3)∵函数f (x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称， ∴f (x)是非奇非偶函数． (4)f (x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0， f (－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f (x)； 当x<0时，－x>0， f (－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f (x)． 综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 都有f (－x)＝f (x)， ∴f (x)为偶函数． 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法： 根据函数奇偶性的定义进行判断．步骤如下： ①判断函数f (x)的定义域是否关于原点对称．若不对称，则函数f (x)为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步． ②验证．f (－x)＝－f (x)或f (－x)＝f (x)． ③下结论．若f (－x)＝－f (x)，则f (x)为奇函数； 若f (－x)＝f (x)，则f (x)为偶函数； 若f (－x)≠－f (x)，且f (－x)≠f (x)，则f (x)为非奇非偶函数． 2图象法： ①若fx图象关于原点对称，则fx是奇函数. ②若fx图象关于y轴对称，则fx是偶函数. ③若fx图象既关于原点对称，又关于y轴对称，则fx既是奇函数，又是偶函数. ④若fx的图象既不关于原点对称，又不关于y轴对称，则fx既不是奇函数也不是偶函数. 3性质法： ①偶函数的和、差、积、商分母不为零仍为偶函数； ②奇函数的和、差仍为奇函数； ③奇偶数个奇函数的积、商分母不为零为奇偶函数； ④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数. [跟进训练] 1．已知f (x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数，且它们都恒不为0，则f (x)·g(x)(　　) A．是奇函数 B．是偶函数 C．既不是奇函数也不是偶函数 D．奇偶性不能确定 A　[令F (x)＝f (x)·g(x)，则F (－x)＝f (－x)·g(－x)＝－f (x)·g(x)＝－F (x)，∴F (x)是奇函数，即f (x)·g(x)是奇函数．故