(讲义)第1章 4.2 一元二次不等式及其解法-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(北师大版2019)

4.2　一元二次不等式及其解法 1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．(重点、难点) 2．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．(难点) 1．通过一元二次不等式的学习，培养数学抽象和直观想象素养． 2．借助一元二次不等式解集的求解，培养数学运算能力． 1．一元二次不等式的概念是什么？ 2．一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解有什么对应关系？ 3．求解一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的过程是什么？ 知识点1　一元二次不等式的概念 1．定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫作一元二次不等式． 2．一般表达式：ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，或ax2＋bx＋c≥0，或ax2＋bx＋c≤0(其中a，b，c均为常数，且a≠0)． 3．解集：使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集． 1．(1)不等式x2＋>0是一元二次不等式吗？ (2)一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗？ [提示]　(1)不是，一元二次不等式一定为整式不等式． (2)不可以，若a＝0，就不是二次不等式了． 1．下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0．其中一定为一元二次不等式的有________．(填序号) [答案]　②④ 知识点2　一元二次不等式的求解方法 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与方程ax2＋bx＋c＝0的实数根、不等式ax2＋bx＋c>0和ax2＋bx＋c<0的解集之间的关系： y＝ax2＋bx＋c(a>0) 方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 方程ax2＋bx＋c＝0的实数根 x1，2＝(x1<x2) x1＝x2＝－ 无实数根 函数y＝ax2＋bx＋c的图象 不等式ax2＋bx＋c>0的解集 {x|x<x1或x>x2} R 不等式ax2＋bx＋c<0的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 2．(1)关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R，a，b，c满足的条件是什么？ (2)关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅，a，b，c满足的条件是什么？ [提示]　(1)或． (2)或． 2．不等式x(x－2)>0的解集为________，不等式x(x－2)<0的解集为________． [答案]　{x|x<0，或x>2}　{x|0<x<2} 3．不等式3x2－2x＋1>0的解集是________． R　[因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8<0，所以不等式3x2－2x＋1>0的解集为R．] 类型1　一元二次不等式的解法 　二次项系数大于0 【例1】　解不等式3x2＋5x－2>0． [解]　方程3x2＋5x－2＝0的两解是x1＝－2，x2＝． 函数y＝3x2＋5x－2的图象是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(－2，0)和．观察图象(右图)可得， 不等式的解集为． 　二次项系数小于0 【例2】　解不等式－2x2＋3x＋2≤0． [解]　原不等式化为2x2－3x－2≥0，∵2x2－3x－2＝0的两解为x1＝－，x2＝2，且a＝2>0， ∴不等式2x2－3x－2≥0的解集是．即原不等式的解集是． 一元二次不等式的一般解题步骤 1通过对不等式变形，使二次项系数大于零； 2计算对应方程的判别式，若判别式不小于零，求出相应的一元二次方程的根； 3画出对应函数的简图，由图象得出不等式的解集. [跟进训练] 1．解不等式：x2>2x－1． [解]　 原不等式化为x2－2x＋1>0． ∵Δ＝0， ∴方程x2－2x＋1＝0有两相等实根x1＝x2＝1． 函数y＝x2－2x＋1的图象是开口向上的抛物线，如下图， 观察图象可得，原不等式的解集为{x|x≠1}． 类型2　含参数的一元二次不等式的解法 【例3】　解关于x的不等式ax2＋2x＋1<0． [解]　 (1)当a＝0时，不等式的解集为， (2)当a>0时，Δ＝4－4a， ①Δ>0即0<a<1时， 不等式的解集为； ②Δ≤0即a≥1时， 不等式的解集为∅． (3)当a<0时，Δ＝4－4a>0， 不等式的解集为{x|x<或x>}． 解含参数的一元二次不等式时，应对系数中的参数进行讨论：1讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向. 2讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x轴交点的个数. 3当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小. 简记为“一a，二Δ，三两根大小”. 最后对系数中的参数进行完全