(讲义)第1章 2.1 必要条件与充分条件-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(北师大版2019)

§2　常用逻辑用语 2.1　必要条件与充分条件 1．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．(重点) 2．通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．(重点) 3．通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．(重点、难点) 1．通过必要条件、充分条件的判断，提升逻辑推理素养． 2．借助必要条件、充分条件的应用，培养数学运算素养． 1．什么是必要条件？ 2．什么是充分条件？ 3．什么是充要条件？ 知识点1　必要条件与性质定理 一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称q是p的必要条件．也就是说，一旦q不成立，p一定也不成立，即q对于p的成立是必要的． 知识点2　充分条件与判定定理 一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称p是q的充分条件． 综上，对于真命题“若p，则q”，即p⇒q时，称q是p的必要条件，也称p是q的充分条件． 1．(1)若p是q的充分条件，这样的条件p是唯一的吗？ (2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q．这五种表述形式等价吗？ [提示]　(1)不唯一，如1＜x＜3和x＞5，2＜x＜7等都是x＞0的充分条件． (2)这五种表述形式是等价的． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1) “两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件． (　　) (2)若p是q的充分条件，则p是唯一的． (　　) (3)若q不是p的必要条件，则“pq”成立． (　　) (4)“x>1”是“x>0”的充分条件． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的______条件．(填“充分”“必要”) [答案]　必要 知识点3　充要条件 (1)一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q． (2)p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”，或“p与q等价”． (3)当p是q的充要条件时，q也是p的充要条件． 2．(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？ (2) “p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？ [提示]　(1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q． (2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论． ②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． 3．“x<2”是“<0”的(　　) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 [答案]　A 4．设p：“四边形为菱形”，q：“四边形的对角线互相垂直”，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [答案]　A 5．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的________条件． [答案]　充要 类型1　充分、必要、充要条件的判断 【例1】　下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件) (1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝； (2)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分； (3)p：xy>0，q：x>0，y>0； (4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形． [解]　(1)因为x＝1或x＝2⇒x－1＝，x－1＝⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件． (2)若一个四边形是正方形，则它的对角线互相垂直平分，即p⇒q．反之，若四边形的对角线互相垂直平分，该四边形不一定是正方形，即qp． 所以p是q的充分不必要条件． (3)因为xy>0时，x>0，y>0或x<0，y<0． 故pq，但q⇒p． 所以p是q的必要不充分条件． (4)因为 所以p是q的既不充分也不必要条件． 充分、必要、充要条件的判断方法 (1)定义法 若p⇒q，qp，则p是q的充分不必要条件； 若pq，q⇒p，则p是q的必要不充分条件； 若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件； 若pq，qp，则p是q的既不充分也不必要条件． (2)集合法 对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下： 若A⊆B，则p是q的充分条件； 若A⊇B，则p是q的必要条件； 若A＝B，则p是q的充要条件； 若AB，则p是q的充分不必要条件； 若AB，则p是q的必要不充分条件． [跟进训练] 1．(1)已知m，n∈R，则“－1＝0”是“m－n＝0”成立的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)(多选)下列选项中