(讲义)第1章 1.1 第1课时 集合的含义-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(北师大版2019)

§1　集合 1.1　集合的概念与表示 第1课时　集合的含义 1．通过实例了解集合的含义．(难点) 2．掌握集合中元素的三个特性．(重点) 3．体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用． 1．通过集合概念的学习，逐步养成数学抽象素养． 2．借助集合中元素的互异性的应用，培养逻辑推理素养． 1．集合与元素的概念是什么？ 2．如何用字母表示集合与元素？ 3．元素与集合之间有哪两种关系？ 4．常见的数集有哪些？分别用什么符号表示？ 知识点1　元素与集合的相关概念 1．集合：把指定的某些对象的全体称为集合，通常用大写英文字母A，B，C，…表示． 2．元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素，通常用小写英文字母a，b，c，…表示． 3．集合中元素的性质：一个集合中的任何两个元素都不相同，也就是说，集合中的元素没有重复，集合中元素的特性：确定性，互异性，无序性． 1．(1)集合中的元素只能是数、点、代数式吗？ (2)某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？ (3)某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？ [提示]　(1)集合中的元素可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等． (2)不能．因为“帅哥”没有明确的标准． (3)能．因为标准确定． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)接近于0的数可以组成集合． (　　) (2)用“book”中的字母构成的集合中元素的个数为4个． (　　) (1)×　(2)×　[(1)接近于0没有明确的标准． (2)由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“o”“k”三个元素．] 知识点2　元素与集合的关系 1．属于：如果元素a在集合A中，就说元素a属于集合A，记作a∈A． 2．不属于：如果元素a不在集合A中，就说元素a不属于集合A，记作a∉A． 2．元素与集合之间有第三种关系吗？ [提示]　没有，对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果． 2．已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1，若3∈A，则实数a的值为________． 2或6　[∵3∈A，∴3＝a－3或3＝2a－1． 若3＝a－3，则a＝6．此时集合A中含有两个元素3，11，符合题意； 若3＝2a－1，则a＝2，此时集合A中含有两个元素－1，3，符合题意． 综上所述，实数a的值为2或6．] 知识点3　常见的数集及符号表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集 符号 N N＋或N* Z Q R R＋ 3．N与N＋(N*)有何区别？ [提示]　N＋(N*)是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N＋(N*)多一个元素0． 3．用“∈”或“∉”填空 ________N；－3________Z；________Q；0________N*；________R． [答案]　∉　∈　∉　∉　∈ 类型1　集合的概念 【例1】　下列给出的对象中，能构成集合的是(　　) ①小于0的所有实数；②与0非常接近的实数；③中国著名的高等院校；④中国双一流的高等院校 A．①③ B．②④ C．①④ D．③④ C　[“非常接近”“著名”等词所描述的对象没有确定性，故选C．] 判断所描述的对象构成集合的标准 判断所描述的对象能否构成集合，关键看所描述的对象是否具有确定性，如果具有确定性，就可以组成集合；否则，就不能组成集合．在集合元素的三个特性中，元素的确定性是其本质属性． [跟进训练] 1．判断下列说法是否正确，并说明理由． (1)所有素数能组成一个集合． (2)数轴上的一些点能组成一个集合． (3)正偶数的全体可以组成一个集合． (4)大于2 015且小于2 020的所有整数不能组成集合． [解]　(1)正确，素数具有确定性． (2)不正确，“一些点”的标准不明确． (3)正确，正偶数具有确定性． (4)不正确，具有确定性，能组成集合． 类型2　元素与集合的关系 【例2】　(1)下列所给关系正确的个数是(　　) ①π∈R；②∉Q；③0∈N*；④|－5|∉N*． A．1 B．2 C．3 D．4 (2)已知集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为(　　) A．2 B．2或4 C．4 D．0 (1)B　(2)B　[(1)π是实数，是无理数，0不是正整数；|－5|＝5，5是正整数，则①②正确，故选B． (2)由题知，a＝2∈A，6－a＝4∈A，∴a＝2，或者a＝4∈A，6－a＝2∈A，∴a＝4， 综上知，a＝2或4．故选B．] 1．判断元素与集合关系的2种方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． (2)推理法：对于给出具有公共特征元